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第三章 场，相对论
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既然照片必须同时拍，而我们知道，“同时”是一个与坐标系有关的相对概念，因此在彼此作相对运动的不同坐标系中，这种测量似乎很可能会得出不同的结果。
我们完全可以设想，如果变化定律对于所有惯性坐标系都相同，那么不仅运动的钟会改变快慢，运动的尺子也会改变长度。
到目前为止，我们只讨论了一些新的可能性，而没有为认定这些可能性给出任何理由。
我们还记得，在所有惯性坐标系中光速都相同。这一事实与经典变换是无法调和的。这个结必须在某处打破，难道不能在这里吗？我们难道不能假定运动钟的快慢和运动量杆的长度会发生改变，以致由这些假定可以直接推出光速不变吗？的确可以！这就是相对论彻底不同于经典物理学的第一个实例。我们的论证可以颠倒过来：如果光速在所有坐标系中都相同，那么运动的量杆必须改变长度，运动的钟也必须改变快慢，这些变化所遵从的定律是严格确定的。
所有这些并没有什么神秘或不合理的地方。在经典物理学中，我们总是假定运动的钟和静止的钟有相同的快慢，运动量杆和静止量杆有相同的长度。如果光速在所有坐标系中都相同，如果相对论是有效的，我们就必须牺牲掉这个假设。这些根深蒂固的偏见很难去除，但我们别无他法。从相对论的观点来看，旧概念显得很武断。为什么要相信对于所有坐标系中的所有观察者，绝对时间都以同样的方式流逝呢？为什么要相信距离不可改变呢？时间由钟来测定，空间坐标由量杆来测定，测定结果也许会依赖于这些钟和量杆在运动时的行为。没有理由认为它们会按照我们希望的方式来行为。经由电磁场现象，观测结果间接地表明，运动的钟会改变快慢，运动的量杆会改变长度，而根据力学现象，我们想不到会有这种事情发生。在每一个坐标系中我们都必须接受相对时间的概念，因为这是解决困难的最佳出路。从相对论中发展出来的进一步的科学进展表明，不应把这个新观点看成“必然的恶”（malumnecessarium），因为它的功绩太过显著。
迄今为止，我们一直在试图说明是什么东西让我们作出了相对论的基本假设，以及相对论如何迫使我们修改经典变换，以新的方式来处理时间和空间。我们的目标是指出新物理哲学观的那些基本观念。这些观念都很简单，但以这里表述的形式还不足以得出任何定性或定量的结论。我们必须重新启用那种老办法，即只解释主要观念，对于其他一些观念则只作陈述而不给出证明。
为了说清楚相信经典变换的旧物理学家（下面称之为“古”）与懂得相对论的现代物理学家（下面称之为“今”）在观点上的区别，设想他们作了以下对话：
古：我相信力学中的伽利略相对性原理，因为我知道在两个相对作匀速直线运动的坐标系中，力学定律是相同的。或者换句话说，这些定律对于经典变换是不变的。
今：但相对性原理必须适用于我们外界的所有事件。在相对作匀速直线运动的坐标系中，不仅力学定律必须相同，所有自然定律都必须相同。
古：但是在相对运动的坐标系中，怎么可能所有自然定律都相同呢？场方程即麦克斯韦方程对于经典变换并不是不变的。光速的例子清楚地表明了这一点。根据经典变换，这个速度在两个相对运动的坐标系中不应相同。
今：这只表明经典变换是不适用的，两个坐标系之间的关联必须有所不同；我们也许不能依照这些变换定律把不同坐标系中的坐标和速度联系起来，而是必须代之以新的定律，从相对论的基本假设中将其推导出来。我们暂不去管这种新变换定律的数学表述，只要知道它与经典变换不同就够了。我们将它简称为洛伦兹变换。可以证明，麦克斯韦方程即场定律对于洛伦兹变换是不变的，就像力学定律对于经典变换是不变的一样。让我们回忆一下经典物理学中的情形。坐标有坐标的变换定律，速度有速度的变换定律，但两个相对作匀速直线运动的坐标系中的力学定律却是相同的。我们有空间的变换定律，却没有时间的变换定律，因为时间在所有坐标系中都相同。而在相对论中却不同了，空间、时间和速度都有跟经典变换不同的变换定律。但同样，自然定律在所有相对作匀速直线运动的坐标系中都必须相同。自然定律必须是不变的，但不是像前面那样对于经典变换不变，而是对于一种新的变换即所谓的洛伦兹变换不变。在所有的惯性坐标系中，自然定律都是有效的，从一个坐标系到另一个坐标系的过渡是由洛伦兹变换给出的。
古：我相信你的话，但我很想知道经典变换与洛伦兹变换的差别。
今：你的问题最好通过以下方式来回答。你且说出经典变换的一些典型特征，我试着解释一下它们是否已经保存在洛伦兹变换中，如果没有，我再解释它们如何发生了改变。
古：假定我的坐标系中有某个事件发生在某一点、某一时刻，那么相对于我的坐标系作匀速直线运动的另一个坐标系中的观察者会为这个事件的发生位置指定不同的数，但时间当然是相同的。我们在所有坐标系中都使用同一个钟，钟是否运动无关紧要。在你看来也是这样吗？
今：不，不是这样的。每一个坐标系都必须配备它自己静止的钟，因为运动会改变钟的快慢。两个不同坐标系中的两位观察者不仅会为位置指定不同的数，而且会为这个事件发生的时刻指定不同的数。
古：这意味着时间不再是不变量。在经典变换中，所有坐标系中的时间都相同。而在洛伦兹变换中则并非如此，时间变得和经典变换中的坐标有点相似。我想知道，长度的情况是怎样的？根据经典力学的看法，刚性量杆无论静止还是运动都不会改变长度。现在还是如此吗？
今：不是了。事实上，根据洛伦兹变换，运动的量杆会沿运动方向收缩，如果速度增加，收缩也会增加。量杆运动得越快，看起来就越短。但这种收缩只发生在运动方向上。在下图中我们可以看到，一根量杆在运动速度接近光速的90％时，其长度会收缩到原来的一半，但在垂直于运动的方向上却没有收缩。
古：这意味着运动钟的快慢和运动量杆的长度都与速度有关，但关系是什么呢？
今：随着速度的增加，改变愈发明显。根据洛伦兹变换，一根尺子的速度若是达到光速，其长度会收缩为零。同样，与它沿着量杆经过的各个钟相比，运动的钟会渐渐慢下来，倘若以光速运动，它就会停住。
古：这似乎与我们所有的经验都不相符。我们知道，汽车运动时并不会变短。我们也知道，汽车司机可以把他的“好”钟与沿途经过的各个钟加以比较，发现它们总是很一致。这与你的说法相反。
今：这当然是对的，但这些力学速度都远远小于光速，因此把相对论用于这些现象是荒谬的。每一个汽车司机即使把速度增加几十万倍，也能放心地使用经典物理学。只有在速度接近光速时，才能期望实验结果与经典变换之间有不一致。只有在速度很大时才能检验洛伦兹变换的有效性。
古：但还有另一个困难。根据力学，我可以想象物体的速度甚至大于光速。一个物体如果相对于漂浮的船以光速运动，则它相对于岸的速度就应比光速更大。一根尺子的速度若是等于光速，其长度会收缩为零，那么当它的速度大于光速时会出现什么情况呢？我们无法期望有一种负的长度。
今：你实在没有理由作这样的讽刺！根据相对论的观点，物体的速度不可能大于光速，光速构成了所有物体速度的上限。倘若一个物体相对于船的速度等于光速，那么它相对于岸的速度也等于光速。加减速度的简单力学定律不再有效，或者更确切地说，对于小的速度近似有效，对于接近光速的速度则不再有效。表示光速的数明确出现在洛伦兹变换中，和经典力学中的无限大速度一样扮演着极限情形的角色。这个更一般的理论与经典变换和经典力学并不矛盾。恰恰相反，当速度很小时，作为极限情形，我们又得到了旧概念。从新理论的观点可以看得很清楚，经典物理学在哪些情况下有效，它的极限在哪里。把相对论用于汽车、轮船和火车的运动，就像把计算机用于只用乘法表便可解决的问题一样可笑。
8.相对论与力学
相对论产生于迫切需要，产生于旧理论中似乎无法摆脱的严重而深刻的矛盾。新理论的长处在于解决所有这些困难时非常一致和简单，只用了很少几条令人信服的假设。
虽然这种理论源于场的问题，但它必须包含所有物理定律。这里似乎有一个困难。场的定律和力学定律属于完全不同的类型。电磁场方程对于洛伦兹变换是不变的，力学方程对于经典变换是不变的。但相对论声称，所有自然定律都必须对于洛伦兹变换不变，而不是对于经典变换不变。经典变换仅仅是两个坐标系的相对速度很小时洛伦兹变换的一个特殊的极限情况。如果是这样，就必须改变经典力学，以满足对于洛伦兹变换的不变性要求。或者换句话说，速度接近光速时，经典力学就不再有效了。从一个坐标系过渡到另一个坐标系只有一种变换，那就是洛伦兹变换。
我们只需把经典力学加以改造，使之既不违反相对论，又不违反经典力学所解释的大量观测材料。旧力学适用于小速度，是新力学的极限情况。
我们不妨考虑相对论使经典力学发生改变的一个实例，也许能够引出某些可用实验加以证明或否证的结论。
假定某个具有一定质量的物体在沿直线运动，一个外力沿着它的运动方向作用于它。我们知道，力正比于速度的变化。或者说得更明确些，某个物体在1秒钟内速度是从100英尺每秒增加到101英尺每秒，或者从100英里每秒增加到（100英里＋1英尺）每秒，还是从180000英里每秒增加到（180000英里＋1英尺）每秒，都是无关紧要的。只要一个物体在相同时间内获得相同的速度改变，作用于该物体的力就总是相同的。
这句话从相对论的观点来看对吗？不对！这条定律只对小速度有效。根据相对论，接近光速的大速度的定律是怎样的呢？如果速度很大，再要增加速度就需要极大的力。把100英尺每秒的速度增加1英尺每秒和把接近光速的速度增加1英尺每秒根本不可同日而语。速度越接近光速，增加它就越难。速度等于光速时，就不可能再增加了。因此，相对论所引起的这些改变是不足为奇的。光速是所有速度的上限。一个有限的力，无论多么大，都不能使速度增加到超过这个极限。一种更复杂的力学定律出现了，它取代了联系力与速度变化的旧力学定律。从我们的新观点来看，经典力学很简单，因为几乎在所有观察中，我们处理的速度都远小于光速。
静止的物体具有一定的质量，被称为静止质量。力学告诉我们，任何物体都会抵抗其运动的变化；质量越大，抵抗越大，质量越小，抵抗也越小。但在相对论中却不仅如此。不仅静止质量越大，物体对运动变化的抵抗就越大，而且速度越大，抵抗也越大。在经典力学中，既定物体的抵抗是不变的，仅由物体的质量来刻画。而在相对论中，它既与静止质量有关，也与速度有关。当速度接近光速时，抵抗就成为无限大。
刚才引述的结果使我们能用实验来检验这个理论。速度接近光速的抛射体对外力作用的抵抗会符合理论预测吗？由于相对论在这方面的陈述具有定量性，所以倘若速度接近光速的抛射体能够实现，我们就能证明或否证这个理论。
我们在自然之中的确可以找到具有这种速度的抛射体。放射性物质的原子，比如镭原子，能像大炮一样发射速度极高的炮弹。我们不去深入细节，只引用现代物理学和化学中一个非常重要的观点。宇宙万物都是由少数几种基本粒子构成的，就像一座城市中有尺寸不一、结构不同和建筑各异的房屋，但无论是简陋的棚子还是摩天大楼，都是用少数几种砖块建成的。同样，我们物质世界中所有已知的化学元素，从最轻的氢到最重的铀，都是由同样几种基本粒子构成的。最重的元素或最复杂的建筑是不稳定的，它们会衰变，或者说具有放射性。构成放射性原子的某些基本粒子有时会以接近光速的速度被抛射出来。根据现在已被大量实验确证的看法，元素的原子（比如镭原子）结构非常复杂，放射性衰变等诸多现象表明，原子是由更加简单的砖块即基本粒子所构成的。
通过巧妙而复杂的实验，我们可以查明粒子是如何抵抗外力作用的。实验表明，这些粒子的抵抗与速度有关，这正是相对论所预言的。在可以表明抵抗与速度有关的其他许多事例中，理论与实验也完全一致。我们再次看到了创造性科学工作的本质特征：理论预言某些事实，然后实验加以确证。
这个结果暗示着另一个重要推广。静止物体有质量，但没有动能（即运动的能量）。运动物体既有质量又有动能。它比静止物体更强烈地抵抗速度的改变，运动物体的动能就好像增加了它的抵抗似的。如果两个物体有相同的静止质量，则动能较大的物体对外力作用的抵抗较强。
设想有一个装着许多球的箱子，箱子和球在我们的坐标系中都是静止的。要使箱子运动，增加它的速度，需要某个力。但如果各个球在箱子里像气体分子一样以接近光速的平均速度朝各个方向运动，那么同样的力在相同时间内能否使速度增加相同的量呢？由于球增加的动能加强了箱子的抵抗，所以现在需要更大的力。能量，至少是动能，会像有重量的质量一样抵抗运动。那么，一切种类的能量都是如此吗？
对于这个问题，相对论由自己的基本假设给出了一个清晰而令人信服的回答，而且是定量性的：所有能量都会抵抗运动的改变；所有能量都像物质一样行为；炽热的铁块要比冰冷时更重；太阳发出的穿过空间的辐射包含能量，因此也有质量；太阳和所有辐射星体都因为发出辐射而损失质量。这个非常一般的结论是相对论的一项重要成就，与检验它的所有事实都符合。
经典物理学引入了两种实体，即物质和能量。物质有重量，能量没有重量。经典物理学中有两个守恒定律，一个是物质守恒，另一个是能量守恒。我们曾经追问，现代物理学是否仍然秉持着这种对两种实体和两个守恒定律的看法。回答是：“否”。根据相对论，质量与能量之间没有本质区别。能量有质量，质量代表能量。我们现在不是有两个而是只有一个守恒定律，即质量-能量守恒。事实证明，这种新观点在物理学的进一步发展中非常成功，富有成效。
能量有质量，质量代表能量，人们为什么一直没有发现这个事实呢？热铁块要比冷铁块更重吗？现在对这个问题的回答是“是”，而过去（见“热是实体吗”一节）则是“否”。其间的内容肯定还不足以讲清楚这个矛盾。
我们这里遇到的困难与前面遇到的是同一种类型。相对论预言的质量变化小到无法测量，哪怕最灵敏的天平也无法直接检测出来。有很多令人信服但间接的方式可以证明能量有重量。
之所以缺乏直接证据，是因为物质与能量之间的兑换率太小。能量之于质量，就如同贬值货币之于高值货币。为了说清楚这一点，让我们举一个例子。能把3万吨水变成蒸汽的热量称起来大约只有1克重。之所以一直认为能量没有重量，仅仅是因为它所代表的质量太小了。
旧的能量-实体是相对论的第二个牺牲品，第一个牺牲品是传播光波的介质。
相对论的影响远远超出了产生相对论的那个问题。它消除了场论的困难和矛盾，提出了更一般的力学定律，用一个守恒定律取代了两个守恒定律，改变了我们经典的绝对时间概念。其有效性并不限于物理学领域，它所形成的一般框架包含一切自然现象。
9.时-空连续区
“1789年7月14日，法国大革命开始于巴黎”。这句话陈述了一个事件的地点和时间。如果一个人初次听到这句话，并且不懂“巴黎”是什么意思，你可以告诉他：这是我们地球上的一座城市，位于北纬49度东经2度。于是，这两个数刻画了事件发生的地点，“1789年7月14日”则刻画了事件发生的时间。在物理学中，精确刻画事件发生的地点和时间远比在历史学中更重要，因为这些数据是定量描述的基础。
为简单起见，我们前面只考虑了直线运动。我们的坐标系是一根有原点无终点的刚性量杆，这一限制我们还保留。在量杆上取不同的点，其位置只能用一个数即该点的坐标来刻画。说一个点的坐标是7.586英尺，意思是它与量杆原点的距离为7.586英尺。反过来，如果有人给我任何一个数和一个单位，我总能在量杆上找到一个点与这个数对应。可以说，量杆上任何一个明确的点都与一个数对应，任何一个数都与量杆上一个明确的点对应。数学家将这个事实表述为：量杆上所有的点构成了一个一维连续区。距离量杆上每一个点任意近的地方都有一个点。我们可以用任意小的步距将量杆上两个相距遥远的点连接起来。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，这就是连续区的典型特征。
还有一例。假定有一个平面，或者你如果喜欢，假定它是一个长方形桌面。桌面上某一点的位置可以用两个数来刻画，而不像前面那样只用一个数来刻画。这两个数就是该点与桌面两条垂直边的距离。平面上每一点对应于两个数而不是一个数，任何两个数都有一个确定的点跟它对应。换句话说，平面是一个二维连续区。与平面上每一点距离任意近的地方都有别的点。可以用分成任意小步距的一条曲线将两个相距遥远的点连接起来。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，每一点都可以用两个数来表示，这就是二维连续区的典型特征。
再举一个例子。假定你要把自己的房间看成你的坐标系，也就是说，你想借助于房间的墙来描述所有位置。如果一盏灯是静止的，那么这盏灯的位置可以用三个数来描述：其中两个数决定它与两个垂直墙面的距离，第三个数决定它与天花板或地板的距离。空间中每一点都对应于三个确定的数，任何三个数都对应于空间中某个确定的点。用一句话来说就是：我们的空间是一个三维连续区。与空间中每一点距离任意近的地方都有别的点。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，每一点都可以用三个数来表示，这就是三维连续区的典型特征。
但以上所谈还不是物理学。现在回到物理学，我们必须考察物质粒子的运动。要想观察和预言自然之中的事件，不仅要考虑物理事件的位置，还要考虑它发生的时间。我们再举一个非常简单的例子。
假定一个小石头（可以看成一个粒子）从256英尺高的塔上落下来。自伽利略的时代起，我们就能预言石头开始下落后在任何时刻的坐标。以下是描述石头在0、1、2、3、4秒后所在位置的“时间表”。
我们的“时间表”中记录着五个事件，每一个事件都用两个数即它的时间和空间坐标来表示。第一个事件是石头在0秒时从距地面256英尺处下落。第二个事件是石头经过我们的刚性量杆（塔）距地面240英尺处，这发生在下落1秒之后。最后的事件是石头碰到地面。
我们可以用另一种方式来表示从这张“时间表”中得到的知识，比如可以把“时间表”中的五对数字表示成平面上的五个点。我们先来确定比例尺。如图所示，一个线段表示100英尺，另一个线段表示1秒。
然后画两条垂直的线，称水平线为时间轴，称竖直线为空间轴。我们立刻发现，我们的“时间表”可以用时-空平面中的五个点来表示。
点与空间轴的距离代表“时间表”第一列中记录的时间坐标，与时间轴的距离则代表空间坐标。
“时间表”和平面上的点，方式虽然不同，表达的事物却完全一样。每一种方式都可以由另一种方式构造出来。这两种方式中选择哪一种取决于人的爱好，因为它们其实是等价的。
现在我们再前进一步。假定有一张更好的“时间表”，它给出的不是每1秒的位置，而是每1/100秒或1/1000秒的位置。这样一来，我们的时-空平面上就会有很多点。最后，如果对每一时刻都给出位置，或如数学家所说，把空间坐标表示成时间的函数，这些点就成了一条连续的线。于是，下图描绘的并非以前那种知识片段，而是关于运动的全部知识。
沿着刚性量杆（塔）的运动，也就是一维空间中的运动，在这里表示为二维时-空连续区中的一条曲线。我们时-空连续区中的每一点都对应于两个数，一个是时间坐标，另一个是空间坐标。反过来，对事件进行刻画的任意两个数都对应于我们时-空连续区中的某个点。相邻的两个点代表在略为不同的时间和位置发生的两个事件。
你或许会这样来反对我们的图示：用线段来代表时间单位，将它机械地与空间结合在一起，两个一维连续区结合成一个二维连续区，这是毫无意义的。但这样一来，你就必须同样强烈地反对许多图示，比如表示去年夏天纽约温度变化的图，表示近年来生活费用变化的图，等等，因为这些例子使用的都是同样的方法。在温度图中，一维的温度连续区与一维的时间连续区结合成二维的温度－时间连续区。
让我们回到从256英尺高塔上落下的粒子。我们对运动的常用图示刻画了粒子在任一时刻的位置。知道了粒子是如何运动的，我们就能再次把它的运动画下来。这有两种方式。
我们还记得粒子在一维空间中位置随时间变化的图，运动被看成一维连续区中发生的一系列事件。我们并未把时间和空间混在一起，而是使用了位置随时间变化的动态图。
但我们也可以用另一种方式来画同一运动，把它看成二维时-空连续区中的曲线，构成一张静态图。现在运动被画成了二维时-空连续区中的某种东西，而不是某种在一维空间连续区中变化的东西。
这两种图完全等价，偏爱哪一种取决于人的习惯和爱好。
关于运动的这两种图示，这里所说的一切都与相对论无关。两种图示可以平等地使用，不过经典物理学更偏爱动态图，把运动描绘成空间中发生的事件，而不是存在于时-空中的东西。但相对论改变了这种看法。它明确支持静态图，发现把运动表示成时-空中的某种东西，更加客观和方便地描绘了实在。我们还要回答一个问题：为什么这两种图从经典物理学的观点来看是等价的，而从相对论的观点来看却不等价呢？
要想知道这个问题的答案，需要重新考虑相对作匀速直线运动的两个坐标系。
根据经典物理学，两个相对作匀速直线运动的坐标系中的观察者将为同一个事件指定不同的空间坐标和相同的时间坐标。所以在上述例子中，在我们选定的坐标系中，石头碰到地面是用时间坐标“4”和空间坐标“0”来刻画的。根据经典力学，相对于我们的坐标系作匀速直线运动的观察者也会认为石头在4秒之后到达地面。但这位观察者会把距离与他的坐标系相参照，而且一般来说会把不同的空间坐标与石头碰到地面这件事联系起来，尽管对于他和所有其他相对作匀速直线运动的观察者来说，时间坐标都相同。经典物理学只知道，对于所有观察者来说，有一个“绝对”时间在流动。对于每一个坐标系，都可以把二维连续区分成两个一维连续区：时间与空间。由于时间是“绝对的”，所以在经典物理学中，从运动的“静态”图到“动态”图的过渡就有了一种客观意义。
但是我们已经确信，不能把经典变换普遍用于物理学。从实用的角度来看，对于小速度来说它还可以用，但不能用来解决基本的物理问题。
根据相对论，石头碰到地面的时间不会在所有观察者看来都一样。在两个不同的坐标系中，时间坐标和空间坐标都会不同。倘若相对速度接近光速，时间坐标的变化将会非常明显。我们不能像在经典物理学中那样把二维连续区分解成两个一维连续区。在确定另一个坐标系中的时-空坐标时，我们绝不能把空间和时间分开来考虑。从相对论的观点来看，把二维连续区分解成两个一维连续区似乎是一种没有客观意义的武断做法。
不难把我们刚才讲的一切推广到非直线运动的情况。事实上，描述自然之中的事件需要用四个数而不是两个数。通过物体及其运动来构想的我们的物理空间有三个维度，位置由三个数来刻画。事件的时刻是第四个数。每一个事件都对应于四个确定的数，任何四个数都对应于一个确定的事件。于是，事件世界就成了一个四维连续区。这一点并无神秘之处，这句话对于经典物理学和相对论都是同样正确的。但是当我们考察两个相对作匀速直线运动的坐标系时又会发现差异。假定房间在运动，屋内屋外的观察者要确定同一个事件的时-空坐标。经典物理学家们会把这个四维连续区分解成三维空间和一维时间连续区。旧物理学家只关心空间变换，因为对他来说，时间是绝对的。他认为把四维世界连续区分解成空间和时间是方便而自然的。但是从相对论的观点来看，从一个坐标系过渡到另一个坐标系时，时间和空间都会改变。洛伦兹变换考察的正是我们四维事件世界的四维时-空连续区的变换性质。
事件世界可以用一幅投射到三维空间背景上的随时间变化的动态图来描述，但也可以用一幅投射到四维时－空连续区背景上的静态图来描述。从经典物理学的观点来看，这一动一静的两幅图是等价的。不过从相对论的观点来看，静态图要更方便、更客观。
如果愿意，即使在相对论中我们也仍然可以使用动态图。但我们必须记住，这种对时间和空间的划分并无客观意义，因为时间不再是“绝对”的。接下来我们仍然会用“动态”而非“静态”的语言，请记住它的局限性。
10.广义相对论
还有一点需要澄清。有一个最基本的问题尚未解决：惯性系存在吗？对于自然定律，自然定律对洛伦兹变换的不变性，以及它们在相对作匀速直线运动的所有惯性系中的有效性，我们已经有所了解。我们有了定律，但不知道它们属于哪个参照系。
为了把这个问题看得更清楚，我们采访一位经典物理学家，向他提出几个简单的问题：
“什么是惯性系？”
“是力学定律在其中有效的坐标系。在这样一个坐标系中，不受外力作用的物体总是作匀速直线运动。凭借这个性质，我们可以把惯性坐标系和其他坐标系区分开来。”
“但是说‘没有力作用于物体上’，这话是什么意思呢？”
“这只是说物体在惯性坐标系中作匀速直线运动。”
这里我们可以再问一次：“什么是惯性坐标系？”但由于得到与前面不同的回答希望渺茫，我们不妨把问题改变一下，看看能否得到一些具体的信息。
“与地球刚性连接的坐标系是惯性坐标系吗？”
“不是，因为由于地球的转动，力学定律在地球上并非严格有效。在许多问题上，我们可以把与太阳刚性连接的坐标系看成一个惯性坐标系，但在谈论太阳的转动时，同样不能把一个与太阳刚性连接的坐标系看成惯性坐标系。”
“那么你所说的惯性坐标系究竟是什么呢？它的运动状态如何选择？”
“它只是一个有用的虚构，我不知道如何实现它。倘若我能远离所有物体，并且不受任何外界影响，我的坐标系就是惯性的。”
“但你所说的不受任何外界影响的坐标系是什么意思呢？”
“我的意思是那个坐标系是惯性的。”
于是我们又回到了最初那个问题！
我们的采访揭示了经典物理学中的一个严重困难。我们有定律，但不知道它们属于哪一个参照系，我们的整座物理学大厦似乎都建在沙子上。
我们可以从另一种观点来考察这个困难。想象在整个宇宙中只有一个物体，它成了我们的坐标系。这个物体开始转动。根据经典力学，转动物体的物理定律不同于不转动物体的物理定律。惯性原理若在一种情况下有效，在另一种情况下就无效了。但这听起来很让人怀疑。倘若整个宇宙中只有一个物体，我们可能考察它的运动吗？所谓物体的运动，我们总是指它相对于另一个物体的位置改变。因此，谈论唯一一个物体的运动是违反常识的。在这一点上，经典物理学与常识严重不一致。牛顿的说法是：如果惯性定律有效，那么这个坐标系要么静止，要么作匀速直线运动。如果惯性定律无效，那么物体作的是非匀速运动。因此，我们对运动或静止的判断依赖于是否所有物理定律都适用于某个给定的坐标系。
取两个物体，比如太阳和地球。我们观察到的运动同样是相对的。为了描述它，我们既可以把坐标系与地球相连，也可以与太阳相连。从这个观点来看，哥白尼的伟大成就在于把坐标系从地球转到了太阳。但由于运动是相对的，任何参照系都可以用，所以似乎没有理由更偏爱某个坐标系。
物理学再次干涉和改变了我们的常识观点。与太阳相连的坐标系比与地球相连的坐标系更像惯性系，物理定律应当适用于哥白尼的坐标系而不是托勒密的坐标系。只有从物理学的观点出发才能认识到哥白尼的发现有多么伟大。它表明，使用与太阳刚性连接的坐标系来描述行星的运动有莫大的好处。
在经典物理学中，绝对的匀速直线运动并不存在。如果两个坐标系相对作匀速直线运动，那么说“这个坐标系静止，那个坐标系运动”是没有意义的。但如果两个坐标系相对作非匀速直线运动，那么就完全有理由说：“这个物体运动，那个物体静止（或匀速直线运动）。”绝对运动在这里有着非常明确的意义。在这一点上，常识与经典物理学之间有一条宽阔的鸿沟。刚才提到的惯性系的困难与绝对运动的困难是密切相关的。正是因为有了自然定律在其中有效的惯性系的观念，绝对运动才是可能的。
这些困难似乎是无法避免的，就好像任何物理理论都无法避免它们一样。其根源在于，自然定律只对惯性系这一种特殊的坐标系才有效。这个困难能否解决，取决于如何回答以下问题。我们表达的物理定律能否对所有坐标系都有效，亦即不仅对相对作匀速直线运动的坐标系有效，而且对相对作任何运动的坐标系也有效呢？如果可以做到，我们的困难也就解决了。那样一来，我们就可以把自然定律应用于任何一个坐标系，以前托勒密与哥白尼观点之间的激烈斗争也就变得没有意义了。对每一个坐标系的使用都是平权的。“太阳静止，地球运动”或“太阳运动，地球静止”这两句话仅仅是涉及两个不同坐标系的两种不同约定而已。
我们能否建立一种在所有坐标系中都有效的真正的相对论物理学呢？或者说，能否建立一种只有相对运动而没有绝对运动的物理学呢？这的确是可能的！
关于如何建立这种新物理学，我们至少已经有一条线索，尽管这条线索非常弱。真正的相对论物理学必须适用于一切坐标系，因此也适用于惯性坐标系这个特例。我们已经知道适用于这个惯性坐标系的一些定律。在惯性系的特例中，对一切坐标系有效的新的一般定律必须归于旧的已知定律。
为一切坐标系提出物理定律的问题已经被所谓的广义相对论解决了。前面所讲的理论被称为狭义相对论，只适用于惯性系。当然，这两种理论不能彼此矛盾，因为我们必须总是把旧的狭义相对论定律纳入一个惯性系的一般定律。但是，正因为以前物理定律仅仅是针对惯性坐标系而提出的，所以现在惯性坐标系将成为特殊的极限情形，因为在广义相对论中，一切相对作任意运动的坐标系都是允许的。
这就是广义相对论的纲领。但要概述这个纲领是如何实施的，我们必须说得比以前更模糊些。科学发展过程中产生的新困难迫使我们的理论变得越来越抽象。异乎寻常的意外经历仍然在等待着我们。但我们的最终目标永远是更好地理解实在。联系理论与观察的逻辑链条又增加了新的环节。为把理论到实验的道路上不必要的人为假设清除掉，使理论涵盖越来越广的事实，就必须使这个链条越来越长。我们的假设变得越简单、越基本，数学推理工具越复杂，从理论到观察的道路就越长、越复杂、越难以描述。虽然听起来很悖谬，但我们依然可以说：新物理学比旧物理学更简单，因此也似乎更困难、更复杂。我们关于外在世界的图像越简单，包含的事实越多，就越能在我们的心灵中反映出宇宙的和谐。
我们的新观念很简单：建立一种对于所有坐标系都有效的物理学。这种观念的实现使形式变得更加复杂，我们不得不使用一些物理学尚未用过的数学工具。这里我们只阐述这个纲领的实现与两个主要问题（引力和几何学）的关系。
11.升降机内外
惯性定律标志着物理学中的第一项伟大进展，事实上是物理学的真正开端。它是通过思索一个理想实验而得到的，即一个物体在既无摩擦又无任何外力作用的情况下永远运动下去。从这个例子以及后来许多其他例子中，我们认识到由思想创造的理想实验的重要性。这里同样要讨论理想实验。这些理想实验听起来也许很荒唐，却能像简单方法一样帮助我们理解相对论。
前面讲过作匀速直线运动的房间的理想实验。这里我们要讲一个下落升降机的理想实验。
想象有一个大升降机位于摩天大楼的楼顶，这座摩天大楼比任何实际的摩天大楼都要高得多。突然，升降机的钢缆断了，于是升降机朝着地面自由下落。下落过程中，升降机里的观察者正在做实验。描述这些实验的时候，我们不必考虑空气的阻力或摩擦力，因为在理想条件下可以不考虑它们的存在。一位观察者从口袋里拿出一块手帕和一块表，然后丢开它们。这两个物体会怎样呢？正在从升降机的窗户外面朝里望的观察者会发现，手帕和表都以同样的加速度落向地面。我们还记得，落体的加速度与它的质量无关，正是这个事实揭示了引力质量与惯性质量的相等。我们也记得，从经典力学观点来看，引力质量与惯性质量的相等是完全偶然的，在经典力学的结构中不起任何作用。然而在这里，从所有落体都有相同的加速度这一事实中反映出来的两种质量的相等是至关重要的，它构成了我们全部论证的基础。
让我们回到那块下落的手帕和表。在升降机外面的观察者看来，这两个物体都以同样的加速度下落。但升降机连同它的四壁、天花板和地板也都以同样的加速度下落，因此两个物体与地板之间的距离并不改变。而在升降机里面的观察者看来，这两个物体一直停在松手丢开它们的那个地方。里面的观察者可以不考虑引力场，因为场源在他的坐标系外面。他发现升降机内部没有任何力作用于这两个物体，因此它们是静止的，就像在一个惯性坐标系中似的。奇怪的事情在升降机中发生了！如果这位观察者朝任何方向（比如朝上或朝下）推动一个物体，那么只要没有碰到升降机的天花板或地板，这个物体将一直作匀速直线运动。简而言之，对于升降机里面的观察者来说，经典力学的定律是有效的。所有物体都按照惯性定律来运动。这个与自由下落的升降机刚性连接的新坐标系只在一个方面不同于惯性坐标系。在惯性坐标系中，不受任何力作用的运动物体会永远作匀速直线运动。经典物理学中描述的惯性坐标系在空间和时间上都没有限制。而我们升降机中的观察者的情形就不同了，其坐标系的惯性性质在空间和时间上都有限制。这个匀速直线运动的物体迟早会碰到升降机的壁，从而破坏匀速直线运动。整个升降机也迟早会撞到地面，从而破坏里面的观察者及其实验。这个坐标系仅仅是实际惯性坐标系的“袖珍版”罢了。
坐标系的这种局域性很重要。如果想象升降机一端在北极，一端在赤道，而手帕放在北极，表放在赤道，那么在外面的观察者看来，这两个物体不会有相同的加速度，也不会相对于彼此静止。我们的整个论证就失败了！升降机的体积必须有一定的限制，这样才能认为在升降机外面的观察者看来所有物体的加速度都相等。
有了这种限制，这个坐标系在里面的观察者看来就有了一种惯性。我们至少可以指出一个所有物理定律在其中都有效的坐标系，尽管它在时间和空间上受到了限制。如果设想另一个坐标系，即相对这个自由下落的升降机作匀速直线运动的升降机，那么这两个坐标系都将是局域惯性的。在这两个坐标系中，所有定律都完全相同。从一个坐标系到另一个坐标系的过渡由洛伦兹变换给出。
让我们看看升降机内外的两位观察者用什么方式来描述升降机中发生的事情。
外面的观察者注意到了升降机及其内部所有物体的运动，发现它们符合牛顿的引力定律。在他看来，由于地球引力场的作用，此运动不是匀速的，而是加速的。
然而，在升降机内出生和长大的一代物理学家却有完全不同的推理。他们相信自己拥有一个惯性系，会把所有自然定律都与他们的升降机相参照，并且自信地说，在他们的坐标系中，定律都有一种特别简单的形式。他们会自然认为自己的升降机是静止的，其坐标系是惯性的。
升降机内外观察者的分歧是不可能化解的。他们都有权把所有事件与自己的坐标系相参照，两者对事件的描述都能自圆其说。
由这个例子我们可以看到，即使两个坐标系相对于彼此不作匀速直线运动，对其中的物理现象作出一致的描述也是可能的。但要作这样的描述，必须考虑引力，这是从一个坐标系过渡到另一个坐标系的“桥梁”。外面的观察者认为引力场存在，里面的观察者却认为不存在。外面的观察者认为存在着升降机在引力场中的加速运动，里面的观察者却认为升降机是静止的，引力场不存在。然而，使两个坐标系中的描述成为可能的引力场————这座“桥梁”————有一个非常重要的支柱，那就是引力质量等于惯性质量。倘若没有经典力学未曾注意的这条线索，我们现在的论证就会完全失败。
现在再讲一个略为不同的理想实验。假定有一个惯性坐标系，惯性定律在其中是有效的。我们已经描述过静止于这样一个惯性坐标系的升降机中发生的事情。现在把图像改变一下，假定有人在升降机外面把一根绳索固定在升降机上，并以恒定的力沿着如图所示的方向牵拉。至于如何做到这些是无关重要的。既然力学定律在这个坐标系中有效，整个升降机将以恒定的加速度沿着运动的方向运动。我们再来听听升降机内外的观察者是如何解释升降机中的现象的。
外面的观察者：我的坐标系是一个惯性坐标系。升降机以恒定的加速度运动，这是因为有一个恒定的力在起作用。里面的观察者在作绝对运动，力学定律对他是无效的。他看不出不受力作用的物体是静止的。如果释放一个物体，它很快就会碰在升降机的地板，因为地板在朝着这个物体向上运动。表和手帕也是如此。我觉得很奇怪，升降机里面的观察者必须总在“地板”上，因为他一跳起来，地板就会重新碰到他。
里面的观察者：我看不出有什么理由可以认为我的升降机在作绝对运动。我同意，与我的升降机刚性连接的坐标系其实不是惯性系，但我并不认为它与绝对运动有什么关系。我的表、手帕以及所有物体之所以下落，是因为整个升降机都在引力场中。我和地面上的人观察到的是完全相同的运动。地面上的人对物体下落的解释很简单，那就是引力场的作用。我也是如此。
升降机内外的观察者所作的这两种描述都很能自圆其说，我们无法判定谁是正确的。我们可以采用其中任何一种来描述升降机中的现象：要么按照外面的观察者所主张的，物体作非匀速运动，没有引力场；要么按照里面的观察者所主张的，物体静止，存在引力场。
外面的观察者也许认为升降机在作“绝对的”非匀速直线运动，但一种能被引力场假设取消掉的运动不能被视为绝对运动。
我们也许能找到一种办法从这两种如此不同的描述中走出来，决定支持哪一种，反对哪一种。设想有一束光经由侧面窗户水平地射入升降机，极短时间之后射到对面的墙上。我们再看看这两位观察者如何预言光的路径。
外面的观察者认为升降机在作加速运动，他会说：光线射入窗户之后将沿直线以恒定的速度水平地射向对面的墙。但升降机正在上升，在光朝着墙壁运动的时间里，升降机已经改变了位置。因此，光线射到墙壁上的点不会与入射点截然相对，而会稍微低一点。这个差异将会很小，但总是存在的，于是相对于升降机，光线不是沿直线，而是沿着略为弯曲的曲线行进。这是因为在光线穿过升降机内部期间，升降机已经移动了一段距离。
里面的观察者则认为升降机中的一切物体都受到引力场的作用，他会说：不存在升降机的加速运动，只存在引力场的作用。光束没有重量，因此不会受到引力场的影响。如果沿水平方向发射，它将射到与入射点截然相对的那个点上。
从这种讨论来看，似乎可以在这两种相反观点中作出判定，因为两位观察者看到的现象是不同的。如果刚才引述的两种解释并非不合理，那么我们之前的整个论证都会被推翻。我们不能用有引力场和无引力场这两种一致的方式来描述所有现象。
但幸运的是，里面的观察者的推理中有一个严重的错误，它挽救了我们前面的结论。他说“光束没有重量，因此不会受到引力场的影响”，这是不正确的！光束携带着能量，而能量有质量。但任何惯性质量都被引力场所吸引，因为惯性质量和引力质量是等效的。光束在引力场中会弯曲，就像以光速水平抛出的物体会偏折路线一样。倘若里面的观察者推理正确，考虑了光线在引力场中的弯曲，他的结果就会与外面观察者的结果完全一致。
当然，地球的引力场太弱了，以至于无法用实验来直接证明光线在地球引力场中的弯曲。但在日食期间所做的著名实验却决定性地间接证明了引力场对光线路径的影响。
从这些例子中可以看出，提出一种相对论物理学是很有希望和有充分根据的。但为此我们必须先来处理引力问题。
我们从升降机的例子中可以看出这两种描述的一致性。既可以假定非匀速运动，也可以不假定。我们可以通过引力场把“绝对”运动从这些例子中消除。但那样一来，非匀速运动中就没有任何绝对的东西了。引力场能将其彻底消除。
我们可以把绝对运动和惯性坐标系的幽灵从物理学中赶出去，建立一种新的相对论物理学。我们的理想实验表明广义相对论的问题与引力问题是密切相关的，并且显示了引力质量与惯性质量的等效为什么对这种关联至关重要。显然，广义相对论中引力问题的解必定不同于牛顿引力问题的解。和所有自然定律一样，引力定律必须在所有可能的坐标系中都有效，而牛顿提出的经典力学定律只在惯性坐标系中才有效。
12.几何学与实验
我们的下一个例子甚至比下落的升降机的例子还要奇特。我们必须讨论一个新问题，即广义相对论与几何学之间的关联。我们先来描述一个生活着二维生物而非三维生物的世界。电影已经使我们习惯于在二维银幕上表演的二维生物。现在让我们设想银幕上的这些“影人”是实际存在的，他们有思维能力，能够创建自己的科学，二维银幕就是他们的几何空间。这些生物无法具体想象三维空间，就像我们无法想象四维世界一样。他们可以折弯直线，知道圆是什么，但却造不出球体，因为这意味着舍弃了他们的二维银幕。我们的处境也是类似的。我们能把线和面折弯，却很难想象一个折弯的三维空间。
通过生活、思考和实验，这些“影人”最终可以精通二维的欧几里得几何学知识。例如，他们可以证明三角形的内角之和等于180度，可以作两个同心圆。他们会发现，这样两个圆的周长之比等于它们的半径之比，这个结果正是欧几里得几何学的典型特征。倘若银幕无限大，这些“影人”会发现，一旦开始笔直前行，他们就永远回不到起点。
现在我们设想这些二维生物的生活环境改变了。有人从外面即“第三维”把他们从银幕移到了半径很大的球面上。如果这些“影人”与整个球面相比极小，无法作远距离通信，又不能移动很远，则他们将感觉不到有任何变化。小三角形的内角之和仍然等于180度。两个同心圆的半径之比仍然等于周长之比。他们沿着直线旅行仍然回不到起点。
但假定这些“影人”渐渐发展出他们的理论知识和技术知识。他们发明了交通工具，能够快速通过遥远的距离。他们将会发现，笔直前行最终还是会回到起点。“笔直前行”意指沿着球体的大圆移动。他们也会发现，两个同心圆的周长之比不等于半径之比。
如果我们的二维生物很保守，而且过去几代学的都是欧几里得几何学（那时他们还不能远行，这种几何学与观测事实相符），那么即使其测量结果有一定误差，他们也肯定会尽一切努力去维护这种几何学。他们可能会尽量用物理学来解释这些不一致，比如寻找一些像温差这样的物理学理由来解释线的变形，从而导致与欧几里得几何学的偏离。但他们迟早会发现，可以用一种更合乎逻辑和更令人信服的方法来描述这些事件。他们终将懂得自己的世界是有限的，其几何学原理与他们学到的有很大区别。他们会知道自己的世界是一个球体的二维表面，尽管无法去想象这一点。他们很快就会学习新的几何学原理，这些原理虽然不同于欧几里得的，但可以针对其二维世界以同样一致和逻辑的方式表述出来。对于学过球面几何学知识的下一代二维生物而言，旧的欧几里得几何学会显得更为复杂和人为，因为它并不符合观察到的事实。
让我们回到我们世界中的三维生物。
说我们的三维空间有一种欧几里得特征，这是什么意思呢？它的意思是，所有得到逻辑证明的欧几里得几何学命题也能用实际的实验加以确证。借助于刚性物体或光线，我们可以构造出与欧几里得几何学的理想化对象相对应的物体。尺子的边缘或一束光都对应于一条线；用刚性细杆构成的三角形的内角之和等于180度；用坚韧的金属丝围成的同心圆的半径之比等于其周长之比。以这种方式来解释，欧几里得几何学就成了物理学的一章，尽管是非常简单的一章。
但我们可以设想差异已经被发现了：例如，由刚性量杆构成的大三角形的内角之和不再等于180度。由于我们已经习惯于用刚性物体来具体表示欧几里得几何学的对象，我们也许应当寻找某种物理的力来解释我们量杆的这种出乎预料的形变。我们应当力求发现这种力的物理性质及其对其他现象的影响。为了挽救欧几里得几何学，我们可以指责物体并非刚性，与欧几里得几何学中的形体并不完全符合。我们应当努力找到更好的物体，其表现与欧几里得几何学所期望的完全一致。然而，倘若我们未能把欧几里得几何学与物理学结合成一幅简单一致的图景，我们就不得不放弃我们的空间是欧几里得空间这一观念，并按照关于我们空间几何性质的更一般假设寻求一种更令人信服的实在图景。
我们可以用一个理想实验来说明这种必要性。这个实验表明，真正的相对论物理学不可能建立在欧几里得几何学的基础上。我们的论点将会蕴含着我们已经了解的关于惯性坐标系和狭义相对论的结果。
设想有一个大圆盘，上面画着两个同心圆，一个很小，另一个很大。圆盘飞快地旋转。圆盘是相对于外面的观察者转动的，圆盘上还有一个观察者。我们进一步假定，外面观察者的坐标系是惯性坐标系，他也可以在自己的惯性坐标系中画出同样一大一小的两个圆，这两个圆在他的坐标系中是静止的，但与旋转圆盘上的圆重合。他的坐标系是惯性的，因此欧几里得几何学在他的坐标系中是有效的，他将发现两圆的周长之比等于半径之比。但圆盘上的观察者发现了什么呢？从经典物理学和狭义相对论的观点来看，他的坐标系是禁用的。但要想为物理定律找到在任何坐标系中都有效的新形式，就必须同样严肃地对待圆盘上和圆盘外的观察者。现在我们从外面注视圆盘上的观察者，看他如何通过测量来查明旋转圆盘上的周长和半径。他和外面的观察者使用的是同样的小量杆。所谓“同样”，要么是指实实在在地相同，就是说它是由外面的观察者递给圆盘上的观察者的；要么是指在一个坐标系中静止时具有相同长度的两根量杆中的一根。
圆盘上的观察者开始在圆盘上测量小圆的半径和周长，他的测量结果必定与外面的观察者完全相同。圆盘的旋转轴通过圆盘的中心，圆盘中心附近的部分速度很小。如果圆足够小，我们就可以放心地使用经典物理学而不必考虑狭义相对论。这意味着，对于圆盘上和外面的观察者来说，量杆的长度是一样的，因此两人的测量结果也将相同。现在圆盘上的观察者又来测量大圆的半径。在外面的观察者看来，放在半径上的量杆在运动。但由于运动方向与量杆垂直，所以这根量杆并不收缩，在两位观察者看来长度相同。于是，对这两位观察者来说，三种测量结果都相同：两个半径和一个小圆周长。而第四种测量却不然！两位观察者测得的大圆周长并不相同。在外面的观察者看来，沿着运动方向放在圆周上的量杆与静止时相比显得收缩了。外圆的速度比内圆大得多，所以必须考虑这种收缩。因此，运用狭义相对论的结果，我们的结论是：两位观察者测出的大圆周长一定是不同的。由于两位观察者测量的四种长度中只有一种是不同的，所以圆盘上的观察者不会像外面的观察者那样认为两半径之比等于两周长之比。这意味着，圆盘上的观察者无法在他的坐标系中确证欧几里得几何学的有效性。
得到这个结果之后，圆盘上的观察者可以说，他不想考虑欧几里得几何学在其中无效的坐标系。欧几里得几何学之所以不成立是因为绝对转动，是因为他的坐标系是坏的和被禁用的。但在以这种方式论证时，他已经拒斥了广义相对论中的主要观念。另一方面，如果我们想拒斥绝对运动，保留广义相对论的观念，就必须把物理学建立在一种比欧几里得几何学更一般的几何学的基础上。只要所有坐标系都可以允许，就无法摆脱这个结局。
广义相对论所带来的变化不能仅限于空间。在狭义相对论中，静止在一个坐标系中的各个钟是同步的，亦即同时指示相同的时刻。那么，非惯性坐标系中的钟会怎样呢？我们还用那个关于圆盘的理想实验。外面的观察者在其惯性坐标系中有许多同步的完美的钟。圆盘上的观察者从中拿出两个，一个放在小的内圆上，另一个放在大的外圆上。内圆上的钟相对于外面的观察者速度很小。于是我们可以放心地断定，它的快慢与圆盘外面的钟相同。但大圆上的钟速度很大，与外面观察者的钟相比快慢变了，因此与放在小圆上的钟相比快慢也变了。于是，两个旋转的钟将会有不同的快慢。运用狭义相对论的结果，我们再次发现在我们的旋转坐标系中做不出类似于惯性坐标系中那样的安排。
为了说明从这个以及前面描述的理想实验中可以得出怎样的结论，我们再次引述相信经典物理学的旧物理学家（“古”）和懂得广义相对论的现代物理学家（“今”）之间的一段对话。旧物理学家是处于惯性坐标系中的外面的观察者，而现代物理学家则是处于旋转圆盘上的观察者。
古：在你的坐标系中，欧几里得几何学是无效的。我观察了你的测量，我承认在你的坐标系中，两个圆的周长之比并不等于半径之比。但这表明你的坐标系是被禁用的。可我的坐标系是惯性的，我可以放心地使用欧几里得几何学。你的圆盘在作绝对运动，从经典物理学的观点来看，它是一个被禁用的坐标系，在其中力学定律是无效的。
今：我不想听任何关于绝对运动的说法。我的坐标系和你的一样好。我看到你相对我的圆盘在旋转。没有人能禁止我把所有运动都与我的圆盘相关联。
古：但你不觉得有一种奇怪的力使你远离圆盘中央吗？假如你的圆盘不是一个快速转动的旋转木马，你所观察到的两种情况就不可能发生。你不会感到有一种力把你向外推，也不会注意到欧几里得几何学在你的坐标系中不能用。这些事实难道不足以让你相信你的坐标系在作绝对运动吗？
今：绝非如此！我当然注意到了你所提到的两个事实，但我认为它们之所以发生，是因为有一个奇特的引力场作用于我的圆盘。指向圆盘外面的这个引力场使我的刚性量杆发生形变，使我的钟改变快慢。在我看来，引力场、非欧几何和不同快慢的钟是密切相关的。采用任何坐标系，我必须同时假定存在着一个适当的引力场及其对刚性量杆和钟的影响。
古：但是，你知道你的广义相对论所引起的困难吗？我想用一个简单的非物理学的例子来澄清我的观点。想象一座理想的美国城市，它由一条条南北街和与之垂直的东西路所组成。街与街的距离、路与路的距离是相同的。如果这些假设得到满足，那么每一个街区都是同样大小。用这种方法很容易描述任一街区的位置。但如果没有欧几里得几何学，这样一种构图是不可能的。例如，我们不能用一个很大的理想美国城市把整个地球覆盖起来。这一点只要看看地球就知道了。但我们也不能用这样一幅“美国城市图”把你的圆盘覆盖起来。你说引力场已经使你的量杆发生了形变。你无法确证关于半径之比等于周长之比的欧几里得定理，这就清楚地表明，如果你把这样一种街道图带到足够远的地方，便迟早会陷入困难，而发现这在你的圆盘上是不可能的。你旋转圆盘上的几何学类似于曲面上的几何学，而在足够大的曲面上，这样的街道图当然是不可能的。再举一个更物理的例子。假定把一个平面的各个部分不规则地加热到不同温度。你能用长度随温度而膨胀的小铁杆作出下面这幅“平行－垂直”图吗？当然不能！你的“引力场”对你的量杆所起的作用和温度改变对小铁杆所起的作用是一样的。
今：所有这些都吓不倒我。需要用街道图来确定点的位置，用钟来确定事件的次序。但城市未必是美国的，它也可以是古代欧洲的。想象你的理想城市是由塑料做成的，然后发生了形变。虽然街道已经不再笔直和等距，但我仍然可以数出街区，认出街道。同样，我们在地球上用经纬度来标明点的位置，尽管不是“美国城市”的构图。
古：但我还是看到一个困难。你不得不用你的“欧洲城市图”。我承认你能确定点或事件的次序，但这种图会把一切距离测量弄乱。它无法像我的图那样给出空间的度规性质。举例来说，我知道在我的美国城市中，要想走十个街区，我必须经过五个街区距离的两倍。我知道所有街区都相等，所以我能立即确定距离。
今：你说的不错。在我的“欧洲城市”图中，我无法通过变形街区的数目立即确定距离。我必须知道更多的东西，必须知道我的表面的几何性质。众所周知，同样是从经度0度到10度的距离，在赤道上和在北极附近是不等的。但每一位航海家都知道如何在地球上确定这样两点之间的距离，因为他知道地球的几何性质。他要么根据球面三角学知识来计算，要么把他的船以相同的速度驶过这两段距离，用实验方法来计算。在你的例子中，整个问题很简单，因为所有街和路都是等距的。而在我们的地球上，情况要更为复杂，0度与10度的两条经线在地球两极相遇，在赤道上则相距最远。同样，为了在我的“欧洲城市图”中确定距离，我必须比你在“美国城市图”中多知道一些东西。为了得到这种额外的知识，我可以在每一种特殊情况下研究我的连续区的几何性质。
古：但所有这些都只不过表明，放弃欧几里得几何学的简单结构，启用你决心使用的复杂框架是如何的不便和复杂罢了。难道这真是必需的吗？
今：如果想把物理学应用到任何坐标系，而不是神秘的惯性坐标系，我想这是不可避免的。我承认我的数学工具比你的更复杂，但我的物理假设却更加简单自然。
这个讨论只限于二维连续区。广义相对论中的争论要更为复杂，因为那里不是二维连续区而是四维时－空连续区，但想法与二维情形一样。在广义相对论中，我们不能像在狭义相对论中那样使用由平行和垂直的量杆以及同步的钟所组成的力学框架。在一个任意的坐标系中，我们无法用刚性量杆和同步的钟来确定一个事件发生的地点和时刻，就像在狭义相对论的惯性坐标系中那样。我们仍然可以用非欧几里得的量杆和快慢不同的钟来确定事件。但需要用刚性量杆和完全同步的钟来做的实际测量只能在局域的惯性坐标系中进行。在这种坐标系中，整个狭义相对论都是有效的。但我们的“好”坐标系只是局域的，其惯性受空间和时间的限制。甚至在我们的任意坐标系中，我们也能预见到局域惯性坐标系中的测量结果。但为此我们必须知道我们时－空连续区的几何学特征。
我们的理想实验仅仅指出了新的相对论物理学的一般特征。这些实验表明，我们的基本问题是引力问题。它们还表明，广义相对论进一步推广了时间和空间概念。
13.广义相对论及其验证
广义相对论试图为所有坐标系提出物理定律。该理论的基本问题是引力问题。自牛顿时代以来，它第一次尝试重新表述引力定律。这真是必需的吗？我们已经了解过牛顿理论的伟大成就以及建立在牛顿引力定律基础上的伟大天文学进展。直至今日，牛顿定律仍然是所有天文学计算的基础。但我们也听说过对于旧理论的一些反驳。牛顿定律只在经典物理学的惯性坐标系中有效，我们还记得，所谓惯性坐标系是指力学定律在其中有效的坐标系。两个质量之间的力与两者之间的距离有关。我们知道，力与距离的关系对于经典变换是不变的。但这个定律并不符合狭义相对论的框架。该距离对于洛伦兹变换并非不变。就像对运动定律一样，我们可以设法把引力定律加以推广，使之符合狭义相对论，或者换句话说，使引力定律的表述对于洛伦兹变换不变，而不是对于经典变换不变。但无论我们如何努力，也无法把牛顿的引力定律简化，把它纳入狭义相对论的框架。即使在这方面取得成功，我们也仍然需要更进一步，从狭义相对论的惯性坐标系迈向广义相对论的任意坐标系。另一方面，关于下落升降机的理想实验清楚地表明，除非解决了引力问题，否则不可能提出广义相对论。由此我们可以看到，为什么引力问题的解决在经典物理学和广义相对论中是不同的。
我们曾试图说明通往广义相对论的道路以及迫使我们再次改变旧观点的理由。我们不去深入广义相对论的形式结构，而只是刻画新的引力理论与旧理论相比有什么特征。根据以上所述，掌握这些差别的实质应当并不困难。
（1）广义相对论的引力方程可以应用于任何坐标系。在某一情形中选择某个特定的坐标系仅仅是出于方便。从理论上讲，所有坐标系都是允许的。如果不考虑引力，我们会自动回到狭义相对论的惯性坐标系。
（2）牛顿的引力定律把此时此地的一个物体的运动与同一时刻远处某一物体的作用联系在一起。此定律已经成为我们整个力学观的一个典范。但力学观崩溃了。在麦克斯韦方程中，我们看到了自然定律的一个新的典范。麦克斯韦方程是结构定律。它们把此时此地发生的事件与稍后附近发生的事件联系起来，是描述电磁场变化的定律。我们新的引力方程也是描述引力场变化的结构定律。扼要地讲，我们可以说：从牛顿的引力定律过渡到广义相对论，有些类似于从库仑定律的电流体理论过渡到麦克斯韦理论。
（3）我们的世界并不是欧几里得式的。我们世界的几何本性由质量及其速度来决定。广义相对论的引力方程试图揭示我们世界的几何本性。
暂且假定我们已经成功实现了广义相对论的纲领。但我们的猜想是否有过分脱离实在的危险呢？我们知道，旧理论很好地解释了天文学观测。是否有可能在新理论与观测之间建起一座桥梁呢？任何猜想都必须接受实验的检验，任何结果，无论多么吸引人，倘若不符合事实，都必须拒斥。新的引力理论能否经受实验检验呢？对于这个问题，我们可以用一句话来回答：旧理论是新理论的一种特殊的极限情形。如果引力较弱，旧牛顿定律就会是新引力定律的很好近似。因此，所有支持经典理论的观测也支持广义相对论。我们从新理论的更高层次上重新获得了旧理论。
即使我们无法引用额外的观测来支持新理论，即使它的解释与旧理论不相上下，倘若在两种理论中自由选择，我们也应当支持新的。从形式上看，新理论的方程要更为复杂，但从基本原理上看，它却简单得多。绝对时间与惯性系这两个可怕的幽灵已经消失了。引力质量与惯性质量的等效这一线索也没有被忽视。关于引力及其与距离的关系，我们无须作任何假设。引力方程有着结构定律的形式，这是自场论取得伟大成就以来所有物理定律都必须具有的形式。
由新的引力定律可以引出不包含在牛顿引力定律中的一些新推论。我们曾经引述过一个推论，即光线在引力场中的弯曲。现在我们要提到另外两个推论。
如果引力较弱时旧定律可以从新定律中推出来，那么只有在引力较强时才能发现与牛顿引力定律的偏差。以我们的太阳系为例，包括地球在内的所有行星都沿着椭圆轨道围绕太阳运转。水星是距离太阳最近的行星。太阳与水星之间的引力要强于太阳与任何其他行星之间的引力，因为水星与太阳的距离较小。倘若有任何希望能够发现与牛顿定律的偏差，最大的机会就是水星。由经典理论可知，水星的运行轨道与任何其他行星是相同类型，只不过它离太阳更近。根据广义相对论，它的运动应该略有不同。水星不仅要围绕太阳运转，它的椭圆轨道也应相对于与太阳相连的坐标系缓慢转动。椭圆轨道的这种转动体现了广义相对论的新效应。新理论还预言了这个效应的大小，水星的椭圆轨道将在300万年后完成整个转动。由此可见，这种效应非常之小，距离太阳更远的行星更没有希望发现这个效应。
在提出广义相对论之前，人们已经知道水星轨道与椭圆的偏差，但无法作出解释。另一方面，广义相对论是在完全没有注意到这个特殊问题的情况下而发展起来的。只是后来才从新的引力方程中推出了行星围绕太阳运转的椭圆轨道本身也在转动的结论。就水星而言，理论成功地解释了水星的运动与牛顿定律预言的运动之间的偏离。
但从广义相对论中还可以推出一个结论可与实验进行比较。我们已经看到，放在旋转圆盘大圆上的钟与放在小圆上的钟快慢不同。同样，由相对论可以推出，放在太阳上的钟与放在地球上的钟快慢不同，因为引力场在太阳上比在地球上要强得多。
前面说过，炽热的钠会发出一定波长的单色黄光。在这种辐射中，原子显示了它的一种快慢；可以说，原子代表钟，发射的波长则代表钟的快慢。根据广义相对论，太阳上钠原子发出光的波长应当略长于地球上钠原子发出光的波长。
通过观测来检验广义相对论的推论是一个非常复杂的问题，而且绝没有得到明确无疑的解决。由于我们只关注主要观念，所以不打算作深入讨论，但可以说，迄今为止的实验判决似乎确证了广义相对论的结论。
14.场与物质
我们已经看到了力学观崩溃的过程和原因。不可能通过假定不变的粒子之间有简单的作用力来解释一切现象。事实证明，我们超越力学观、引入场的概念的最初尝试在电磁现象领域最为成功。电磁场的结构定律得以确立，它们把空间和时间中彼此非常接近的事件联系起来。这些定律符合狭义相对论的框架，因为它们对于洛伦兹变换是不变的。后来，广义相对论提出了引力定律，它们同样是描述物质粒子之间引力场的结构定律。就像广义相对论的引力定律那样，我们同样很容易对麦克斯韦的定律进行推广，使之适用于任何坐标系。
我们有两种实在：物质和场。毫无疑问，我们现在不能像19世纪初的物理学家那样想象把整个物理学都建立在物质概念的基础上。我们现在把物质和场这两个概念都接受下来。我们能把物质和场看成两种不同的实在吗？给定一个物质粒子，我们对它可以作这样一种朴素的刻画：该粒子有一个明确的表面，在那里物质不再存在，其引力场也在那里出现。在我们的图景中，场定律有效的区域和物质存在的区域是突然分开的。但区分物质与场的物理标准是什么呢？在了解相对论之前，我们可能会这样来尝试回答这个问题：物质有质量而场没有质量。场代表能量，物质代表质量。但获得更多知识以后，我们已经知道这样的回答是不够的。从相对论中我们得知，物质储藏着大量能量，而能量又代表物质。我们不能以这种方式对物质与场进行定性的区分，因为质量与能量之间的区分并不是定性的。物质之中集中着最大部分的能量，但微粒周围的场也代表能量，尽管量要小得多。因此我们可以说：物质是能量最为集中的地方，场则是能量较少集中的地方。但如果是这样，那么物质与场之间的区别就是定量的而不是定性的。把物质和场看成两种性质完全不同的东西是没有道理的。我们无法想象有一个明确的表面把场与物质截然分开。
电荷和它的场也有同样的困难。我们似乎给不出明显的定性标准来区分物质和场或者电荷和场。
在能量非常集中的地方，或者说在电荷或物质等场源存在的地方，我们的结构定律，即麦克斯韦定律和引力定律就失效了。但我们难道不能对这些方程略作修改，使之到处有效，甚至在能量非常集中的地方也能有效吗？
我们不能仅仅基于物质概念来建立物理学。但在认识到质量与能量等效之后，物质与场的划分就显得有些人为和模糊了。我们能否拒斥物质概念，建立起一种纯粹的场物理学呢？我们感觉到的物质其实只是能量大大集中在一个较小的空间中而已。我们可以把物质看成空间中场特别强的一些区域，由此来创建一种新的哲学背景。其最终目标就是用随时随地都有效的结构定律来解释自然之中的一切事件。从这种观点来看，抛出的石头就是一个变化着的场，在这个场中，场强最大的状态以石头的速度穿过空间。在我们这种新物理学中，场与物质不能都是实在，场是唯一的实在。场物理学取得了伟大的成就，把电、磁和引力的定律成功地表达为结构定律的形式，还有质量与能量的等效，所有这些都暗示了这种新的观点。我们最后的问题便是改变我们的场定律，使之在能量非常集中的地方也不失效。
但迄今为止，我们仍然没有令人信服和前后一致地成功实现这个纲领。究竟能否实现，现在还不好说。目前我们在所有实际的理论构建中仍然要假定两种实在：场与物质。
基本问题仍然摆在我们眼前。我们知道，所有物质都是由少数几种粒子构成的。各式各样的物质是如何由这些基本粒子构成的呢？这些基本粒子与场是如何相互作用的呢？为了寻求这些问题的答案，物理学中又引入了新的观念，即量子理论的观念。
总结：
物理学中出现了一个新的概念————场，这是自牛顿时代以来最重要的发明。对于描述物理现象必不可少的不是电荷，也不是粒子，而是电荷之间与粒子之间的场，这需要很大的科学想象力才能认识到。事实证明，场的概念非常成功，由这个概念引出了描述电磁场结构以及支配电现象和光现象的麦克斯韦方程。
相对论源于场的问题。旧理论的矛盾和不一致迫使我们把新的性质归于时-空连续区，归于我们物理世界中所有事件的舞台。
相对论的发展有两步。第一步产生了所谓的狭义相对论，它只适用于惯性坐标系，即牛顿表述的惯性定律在其中有效的系统。狭义相对论基于两条基本假设：在所有相对作匀速直线运动的坐标系中物理定律都相同；光速总有相同的值。由这些已被实验充分确证的假设可以推出，运动量杆的长度以及钟的快慢随速度而改变。相对论改变了力学定律。如果运动粒子的速度接近光速，旧的定律就失效了。实验出色地确证了相对论为运动物体重新提出的定律。（狭义）相对论的另一个推论便是质能关系。质量是能量，能量有质量。相对论把质量守恒定律与能量守恒定律结合成一个质-能守恒定律。
广义相对论对时-空连续区作了更深入的分析，其有效性不再局限于惯性坐标系。它处理了引力问题，为引力场提出了新的结构定律。广义相对论迫使我们分析几何学对于描述物理世界的作用。它把引力质量与惯性质量的相等看得至关重要，而不像经典力学那样把它看成纯粹偶然。广义相对论的实验结果与经典力学的结果只有略微不同。只要是有可能进行比较的地方，它都经受住了实验的检验。然而，广义相对论的长处在于它内在的一致性和基本假设的简单性。
相对论强调了场的概念在物理学中的重要性，但我们尚不能成功地提出一种纯粹的场物理学。目前我们仍然要假定场和物质都存在。
我们完全可以设想，如果变化定律对于所有惯性坐标系都相同，那么不仅运动的钟会改变快慢，运动的尺子也会改变长度。
到目前为止，我们只讨论了一些新的可能性，而没有为认定这些可能性给出任何理由。
我们还记得，在所有惯性坐标系中光速都相同。这一事实与经典变换是无法调和的。这个结必须在某处打破，难道不能在这里吗？我们难道不能假定运动钟的快慢和运动量杆的长度会发生改变，以致由这些假定可以直接推出光速不变吗？的确可以！这就是相对论彻底不同于经典物理学的第一个实例。我们的论证可以颠倒过来：如果光速在所有坐标系中都相同，那么运动的量杆必须改变长度，运动的钟也必须改变快慢，这些变化所遵从的定律是严格确定的。
所有这些并没有什么神秘或不合理的地方。在经典物理学中，我们总是假定运动的钟和静止的钟有相同的快慢，运动量杆和静止量杆有相同的长度。如果光速在所有坐标系中都相同，如果相对论是有效的，我们就必须牺牲掉这个假设。这些根深蒂固的偏见很难去除，但我们别无他法。从相对论的观点来看，旧概念显得很武断。为什么要相信对于所有坐标系中的所有观察者，绝对时间都以同样的方式流逝呢？为什么要相信距离不可改变呢？时间由钟来测定，空间坐标由量杆来测定，测定结果也许会依赖于这些钟和量杆在运动时的行为。没有理由认为它们会按照我们希望的方式来行为。经由电磁场现象，观测结果间接地表明，运动的钟会改变快慢，运动的量杆会改变长度，而根据力学现象，我们想不到会有这种事情发生。在每一个坐标系中我们都必须接受相对时间的概念，因为这是解决困难的最佳出路。从相对论中发展出来的进一步的科学进展表明，不应把这个新观点看成“必然的恶”（malumnecessarium），因为它的功绩太过显著。
迄今为止，我们一直在试图说明是什么东西让我们作出了相对论的基本假设，以及相对论如何迫使我们修改经典变换，以新的方式来处理时间和空间。我们的目标是指出新物理哲学观的那些基本观念。这些观念都很简单，但以这里表述的形式还不足以得出任何定性或定量的结论。我们必须重新启用那种老办法，即只解释主要观念，对于其他一些观念则只作陈述而不给出证明。
为了说清楚相信经典变换的旧物理学家（下面称之为“古”）与懂得相对论的现代物理学家（下面称之为“今”）在观点上的区别，设想他们作了以下对话：
古：我相信力学中的伽利略相对性原理，因为我知道在两个相对作匀速直线运动的坐标系中，力学定律是相同的。或者换句话说，这些定律对于经典变换是不变的。
今：但相对性原理必须适用于我们外界的所有事件。在相对作匀速直线运动的坐标系中，不仅力学定律必须相同，所有自然定律都必须相同。
古：但是在相对运动的坐标系中，怎么可能所有自然定律都相同呢？场方程即麦克斯韦方程对于经典变换并不是不变的。光速的例子清楚地表明了这一点。根据经典变换，这个速度在两个相对运动的坐标系中不应相同。
今：这只表明经典变换是不适用的，两个坐标系之间的关联必须有所不同；我们也许不能依照这些变换定律把不同坐标系中的坐标和速度联系起来，而是必须代之以新的定律，从相对论的基本假设中将其推导出来。我们暂不去管这种新变换定律的数学表述，只要知道它与经典变换不同就够了。我们将它简称为洛伦兹变换。可以证明，麦克斯韦方程即场定律对于洛伦兹变换是不变的，就像力学定律对于经典变换是不变的一样。让我们回忆一下经典物理学中的情形。坐标有坐标的变换定律，速度有速度的变换定律，但两个相对作匀速直线运动的坐标系中的力学定律却是相同的。我们有空间的变换定律，却没有时间的变换定律，因为时间在所有坐标系中都相同。而在相对论中却不同了，空间、时间和速度都有跟经典变换不同的变换定律。但同样，自然定律在所有相对作匀速直线运动的坐标系中都必须相同。自然定律必须是不变的，但不是像前面那样对于经典变换不变，而是对于一种新的变换即所谓的洛伦兹变换不变。在所有的惯性坐标系中，自然定律都是有效的，从一个坐标系到另一个坐标系的过渡是由洛伦兹变换给出的。
古：我相信你的话，但我很想知道经典变换与洛伦兹变换的差别。
今：你的问题最好通过以下方式来回答。你且说出经典变换的一些典型特征，我试着解释一下它们是否已经保存在洛伦兹变换中，如果没有，我再解释它们如何发生了改变。
古：假定我的坐标系中有某个事件发生在某一点、某一时刻，那么相对于我的坐标系作匀速直线运动的另一个坐标系中的观察者会为这个事件的发生位置指定不同的数，但时间当然是相同的。我们在所有坐标系中都使用同一个钟，钟是否运动无关紧要。在你看来也是这样吗？
今：不，不是这样的。每一个坐标系都必须配备它自己静止的钟，因为运动会改变钟的快慢。两个不同坐标系中的两位观察者不仅会为位置指定不同的数，而且会为这个事件发生的时刻指定不同的数。
古：这意味着时间不再是不变量。在经典变换中，所有坐标系中的时间都相同。而在洛伦兹变换中则并非如此，时间变得和经典变换中的坐标有点相似。我想知道，长度的情况是怎样的？根据经典力学的看法，刚性量杆无论静止还是运动都不会改变长度。现在还是如此吗？
今：不是了。事实上，根据洛伦兹变换，运动的量杆会沿运动方向收缩，如果速度增加，收缩也会增加。量杆运动得越快，看起来就越短。但这种收缩只发生在运动方向上。在下图中我们可以看到，一根量杆在运动速度接近光速的90％时，其长度会收缩到原来的一半，但在垂直于运动的方向上却没有收缩。
古：这意味着运动钟的快慢和运动量杆的长度都与速度有关，但关系是什么呢？
今：随着速度的增加，改变愈发明显。根据洛伦兹变换，一根尺子的速度若是达到光速，其长度会收缩为零。同样，与它沿着量杆经过的各个钟相比，运动的钟会渐渐慢下来，倘若以光速运动，它就会停住。
古：这似乎与我们所有的经验都不相符。我们知道，汽车运动时并不会变短。我们也知道，汽车司机可以把他的“好”钟与沿途经过的各个钟加以比较，发现它们总是很一致。这与你的说法相反。
今：这当然是对的，但这些力学速度都远远小于光速，因此把相对论用于这些现象是荒谬的。每一个汽车司机即使把速度增加几十万倍，也能放心地使用经典物理学。只有在速度接近光速时，才能期望实验结果与经典变换之间有不一致。只有在速度很大时才能检验洛伦兹变换的有效性。
古：但还有另一个困难。根据力学，我可以想象物体的速度甚至大于光速。一个物体如果相对于漂浮的船以光速运动，则它相对于岸的速度就应比光速更大。一根尺子的速度若是等于光速，其长度会收缩为零，那么当它的速度大于光速时会出现什么情况呢？我们无法期望有一种负的长度。
今：你实在没有理由作这样的讽刺！根据相对论的观点，物体的速度不可能大于光速，光速构成了所有物体速度的上限。倘若一个物体相对于船的速度等于光速，那么它相对于岸的速度也等于光速。加减速度的简单力学定律不再有效，或者更确切地说，对于小的速度近似有效，对于接近光速的速度则不再有效。表示光速的数明确出现在洛伦兹变换中，和经典力学中的无限大速度一样扮演着极限情形的角色。这个更一般的理论与经典变换和经典力学并不矛盾。恰恰相反，当速度很小时，作为极限情形，我们又得到了旧概念。从新理论的观点可以看得很清楚，经典物理学在哪些情况下有效，它的极限在哪里。把相对论用于汽车、轮船和火车的运动，就像把计算机用于只用乘法表便可解决的问题一样可笑。
8.相对论与力学
相对论产生于迫切需要，产生于旧理论中似乎无法摆脱的严重而深刻的矛盾。新理论的长处在于解决所有这些困难时非常一致和简单，只用了很少几条令人信服的假设。
虽然这种理论源于场的问题，但它必须包含所有物理定律。这里似乎有一个困难。场的定律和力学定律属于完全不同的类型。电磁场方程对于洛伦兹变换是不变的，力学方程对于经典变换是不变的。但相对论声称，所有自然定律都必须对于洛伦兹变换不变，而不是对于经典变换不变。经典变换仅仅是两个坐标系的相对速度很小时洛伦兹变换的一个特殊的极限情况。如果是这样，就必须改变经典力学，以满足对于洛伦兹变换的不变性要求。或者换句话说，速度接近光速时，经典力学就不再有效了。从一个坐标系过渡到另一个坐标系只有一种变换，那就是洛伦兹变换。
我们只需把经典力学加以改造，使之既不违反相对论，又不违反经典力学所解释的大量观测材料。旧力学适用于小速度，是新力学的极限情况。
我们不妨考虑相对论使经典力学发生改变的一个实例，也许能够引出某些可用实验加以证明或否证的结论。
假定某个具有一定质量的物体在沿直线运动，一个外力沿着它的运动方向作用于它。我们知道，力正比于速度的变化。或者说得更明确些，某个物体在1秒钟内速度是从100英尺每秒增加到101英尺每秒，或者从100英里每秒增加到（100英里＋1英尺）每秒，还是从180000英里每秒增加到（180000英里＋1英尺）每秒，都是无关紧要的。只要一个物体在相同时间内获得相同的速度改变，作用于该物体的力就总是相同的。
这句话从相对论的观点来看对吗？不对！这条定律只对小速度有效。根据相对论，接近光速的大速度的定律是怎样的呢？如果速度很大，再要增加速度就需要极大的力。把100英尺每秒的速度增加1英尺每秒和把接近光速的速度增加1英尺每秒根本不可同日而语。速度越接近光速，增加它就越难。速度等于光速时，就不可能再增加了。因此，相对论所引起的这些改变是不足为奇的。光速是所有速度的上限。一个有限的力，无论多么大，都不能使速度增加到超过这个极限。一种更复杂的力学定律出现了，它取代了联系力与速度变化的旧力学定律。从我们的新观点来看，经典力学很简单，因为几乎在所有观察中，我们处理的速度都远小于光速。
静止的物体具有一定的质量，被称为静止质量。力学告诉我们，任何物体都会抵抗其运动的变化；质量越大，抵抗越大，质量越小，抵抗也越小。但在相对论中却不仅如此。不仅静止质量越大，物体对运动变化的抵抗就越大，而且速度越大，抵抗也越大。在经典力学中，既定物体的抵抗是不变的，仅由物体的质量来刻画。而在相对论中，它既与静止质量有关，也与速度有关。当速度接近光速时，抵抗就成为无限大。
刚才引述的结果使我们能用实验来检验这个理论。速度接近光速的抛射体对外力作用的抵抗会符合理论预测吗？由于相对论在这方面的陈述具有定量性，所以倘若速度接近光速的抛射体能够实现，我们就能证明或否证这个理论。
我们在自然之中的确可以找到具有这种速度的抛射体。放射性物质的原子，比如镭原子，能像大炮一样发射速度极高的炮弹。我们不去深入细节，只引用现代物理学和化学中一个非常重要的观点。宇宙万物都是由少数几种基本粒子构成的，就像一座城市中有尺寸不一、结构不同和建筑各异的房屋，但无论是简陋的棚子还是摩天大楼，都是用少数几种砖块建成的。同样，我们物质世界中所有已知的化学元素，从最轻的氢到最重的铀，都是由同样几种基本粒子构成的。最重的元素或最复杂的建筑是不稳定的，它们会衰变，或者说具有放射性。构成放射性原子的某些基本粒子有时会以接近光速的速度被抛射出来。根据现在已被大量实验确证的看法，元素的原子（比如镭原子）结构非常复杂，放射性衰变等诸多现象表明，原子是由更加简单的砖块即基本粒子所构成的。
通过巧妙而复杂的实验，我们可以查明粒子是如何抵抗外力作用的。实验表明，这些粒子的抵抗与速度有关，这正是相对论所预言的。在可以表明抵抗与速度有关的其他许多事例中，理论与实验也完全一致。我们再次看到了创造性科学工作的本质特征：理论预言某些事实，然后实验加以确证。
这个结果暗示着另一个重要推广。静止物体有质量，但没有动能（即运动的能量）。运动物体既有质量又有动能。它比静止物体更强烈地抵抗速度的改变，运动物体的动能就好像增加了它的抵抗似的。如果两个物体有相同的静止质量，则动能较大的物体对外力作用的抵抗较强。
设想有一个装着许多球的箱子，箱子和球在我们的坐标系中都是静止的。要使箱子运动，增加它的速度，需要某个力。但如果各个球在箱子里像气体分子一样以接近光速的平均速度朝各个方向运动，那么同样的力在相同时间内能否使速度增加相同的量呢？由于球增加的动能加强了箱子的抵抗，所以现在需要更大的力。能量，至少是动能，会像有重量的质量一样抵抗运动。那么，一切种类的能量都是如此吗？
对于这个问题，相对论由自己的基本假设给出了一个清晰而令人信服的回答，而且是定量性的：所有能量都会抵抗运动的改变；所有能量都像物质一样行为；炽热的铁块要比冰冷时更重；太阳发出的穿过空间的辐射包含能量，因此也有质量；太阳和所有辐射星体都因为发出辐射而损失质量。这个非常一般的结论是相对论的一项重要成就，与检验它的所有事实都符合。
经典物理学引入了两种实体，即物质和能量。物质有重量，能量没有重量。经典物理学中有两个守恒定律，一个是物质守恒，另一个是能量守恒。我们曾经追问，现代物理学是否仍然秉持着这种对两种实体和两个守恒定律的看法。回答是：“否”。根据相对论，质量与能量之间没有本质区别。能量有质量，质量代表能量。我们现在不是有两个而是只有一个守恒定律，即质量-能量守恒。事实证明，这种新观点在物理学的进一步发展中非常成功，富有成效。
能量有质量，质量代表能量，人们为什么一直没有发现这个事实呢？热铁块要比冷铁块更重吗？现在对这个问题的回答是“是”，而过去（见“热是实体吗”一节）则是“否”。其间的内容肯定还不足以讲清楚这个矛盾。
我们这里遇到的困难与前面遇到的是同一种类型。相对论预言的质量变化小到无法测量，哪怕最灵敏的天平也无法直接检测出来。有很多令人信服但间接的方式可以证明能量有重量。
之所以缺乏直接证据，是因为物质与能量之间的兑换率太小。能量之于质量，就如同贬值货币之于高值货币。为了说清楚这一点，让我们举一个例子。能把3万吨水变成蒸汽的热量称起来大约只有1克重。之所以一直认为能量没有重量，仅仅是因为它所代表的质量太小了。
旧的能量-实体是相对论的第二个牺牲品，第一个牺牲品是传播光波的介质。
相对论的影响远远超出了产生相对论的那个问题。它消除了场论的困难和矛盾，提出了更一般的力学定律，用一个守恒定律取代了两个守恒定律，改变了我们经典的绝对时间概念。其有效性并不限于物理学领域，它所形成的一般框架包含一切自然现象。
9.时-空连续区
“1789年7月14日，法国大革命开始于巴黎”。这句话陈述了一个事件的地点和时间。如果一个人初次听到这句话，并且不懂“巴黎”是什么意思，你可以告诉他：这是我们地球上的一座城市，位于北纬49度东经2度。于是，这两个数刻画了事件发生的地点，“1789年7月14日”则刻画了事件发生的时间。在物理学中，精确刻画事件发生的地点和时间远比在历史学中更重要，因为这些数据是定量描述的基础。
为简单起见，我们前面只考虑了直线运动。我们的坐标系是一根有原点无终点的刚性量杆，这一限制我们还保留。在量杆上取不同的点，其位置只能用一个数即该点的坐标来刻画。说一个点的坐标是7.586英尺，意思是它与量杆原点的距离为7.586英尺。反过来，如果有人给我任何一个数和一个单位，我总能在量杆上找到一个点与这个数对应。可以说，量杆上任何一个明确的点都与一个数对应，任何一个数都与量杆上一个明确的点对应。数学家将这个事实表述为：量杆上所有的点构成了一个一维连续区。距离量杆上每一个点任意近的地方都有一个点。我们可以用任意小的步距将量杆上两个相距遥远的点连接起来。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，这就是连续区的典型特征。
还有一例。假定有一个平面，或者你如果喜欢，假定它是一个长方形桌面。桌面上某一点的位置可以用两个数来刻画，而不像前面那样只用一个数来刻画。这两个数就是该点与桌面两条垂直边的距离。平面上每一点对应于两个数而不是一个数，任何两个数都有一个确定的点跟它对应。换句话说，平面是一个二维连续区。与平面上每一点距离任意近的地方都有别的点。可以用分成任意小步距的一条曲线将两个相距遥远的点连接起来。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，每一点都可以用两个数来表示，这就是二维连续区的典型特征。
再举一个例子。假定你要把自己的房间看成你的坐标系，也就是说，你想借助于房间的墙来描述所有位置。如果一盏灯是静止的，那么这盏灯的位置可以用三个数来描述：其中两个数决定它与两个垂直墙面的距离，第三个数决定它与天花板或地板的距离。空间中每一点都对应于三个确定的数，任何三个数都对应于空间中某个确定的点。用一句话来说就是：我们的空间是一个三维连续区。与空间中每一点距离任意近的地方都有别的点。将相距遥远的两点连接起来的步距可以任意小，每一点都可以用三个数来表示，这就是三维连续区的典型特征。
但以上所谈还不是物理学。现在回到物理学，我们必须考察物质粒子的运动。要想观察和预言自然之中的事件，不仅要考虑物理事件的位置，还要考虑它发生的时间。我们再举一个非常简单的例子。
假定一个小石头（可以看成一个粒子）从256英尺高的塔上落下来。自伽利略的时代起，我们就能预言石头开始下落后在任何时刻的坐标。以下是描述石头在0、1、2、3、4秒后所在位置的“时间表”。
我们的“时间表”中记录着五个事件，每一个事件都用两个数即它的时间和空间坐标来表示。第一个事件是石头在0秒时从距地面256英尺处下落。第二个事件是石头经过我们的刚性量杆（塔）距地面240英尺处，这发生在下落1秒之后。最后的事件是石头碰到地面。
我们可以用另一种方式来表示从这张“时间表”中得到的知识，比如可以把“时间表”中的五对数字表示成平面上的五个点。我们先来确定比例尺。如图所示，一个线段表示100英尺，另一个线段表示1秒。
然后画两条垂直的线，称水平线为时间轴，称竖直线为空间轴。我们立刻发现，我们的“时间表”可以用时-空平面中的五个点来表示。
点与空间轴的距离代表“时间表”第一列中记录的时间坐标，与时间轴的距离则代表空间坐标。
“时间表”和平面上的点，方式虽然不同，表达的事物却完全一样。每一种方式都可以由另一种方式构造出来。这两种方式中选择哪一种取决于人的爱好，因为它们其实是等价的。
现在我们再前进一步。假定有一张更好的“时间表”，它给出的不是每1秒的位置，而是每1/100秒或1/1000秒的位置。这样一来，我们的时-空平面上就会有很多点。最后，如果对每一时刻都给出位置，或如数学家所说，把空间坐标表示成时间的函数，这些点就成了一条连续的线。于是，下图描绘的并非以前那种知识片段，而是关于运动的全部知识。
沿着刚性量杆（塔）的运动，也就是一维空间中的运动，在这里表示为二维时-空连续区中的一条曲线。我们时-空连续区中的每一点都对应于两个数，一个是时间坐标，另一个是空间坐标。反过来，对事件进行刻画的任意两个数都对应于我们时-空连续区中的某个点。相邻的两个点代表在略为不同的时间和位置发生的两个事件。
你或许会这样来反对我们的图示：用线段来代表时间单位，将它机械地与空间结合在一起，两个一维连续区结合成一个二维连续区，这是毫无意义的。但这样一来，你就必须同样强烈地反对许多图示，比如表示去年夏天纽约温度变化的图，表示近年来生活费用变化的图，等等，因为这些例子使用的都是同样的方法。在温度图中，一维的温度连续区与一维的时间连续区结合成二维的温度－时间连续区。
让我们回到从256英尺高塔上落下的粒子。我们对运动的常用图示刻画了粒子在任一时刻的位置。知道了粒子是如何运动的，我们就能再次把它的运动画下来。这有两种方式。
我们还记得粒子在一维空间中位置随时间变化的图，运动被看成一维连续区中发生的一系列事件。我们并未把时间和空间混在一起，而是使用了位置随时间变化的动态图。
但我们也可以用另一种方式来画同一运动，把它看成二维时-空连续区中的曲线，构成一张静态图。现在运动被画成了二维时-空连续区中的某种东西，而不是某种在一维空间连续区中变化的东西。
这两种图完全等价，偏爱哪一种取决于人的习惯和爱好。
关于运动的这两种图示，这里所说的一切都与相对论无关。两种图示可以平等地使用，不过经典物理学更偏爱动态图，把运动描绘成空间中发生的事件，而不是存在于时-空中的东西。但相对论改变了这种看法。它明确支持静态图，发现把运动表示成时-空中的某种东西，更加客观和方便地描绘了实在。我们还要回答一个问题：为什么这两种图从经典物理学的观点来看是等价的，而从相对论的观点来看却不等价呢？
要想知道这个问题的答案，需要重新考虑相对作匀速直线运动的两个坐标系。
根据经典物理学，两个相对作匀速直线运动的坐标系中的观察者将为同一个事件指定不同的空间坐标和相同的时间坐标。所以在上述例子中，在我们选定的坐标系中，石头碰到地面是用时间坐标“4”和空间坐标“0”来刻画的。根据经典力学，相对于我们的坐标系作匀速直线运动的观察者也会认为石头在4秒之后到达地面。但这位观察者会把距离与他的坐标系相参照，而且一般来说会把不同的空间坐标与石头碰到地面这件事联系起来，尽管对于他和所有其他相对作匀速直线运动的观察者来说，时间坐标都相同。经典物理学只知道，对于所有观察者来说，有一个“绝对”时间在流动。对于每一个坐标系，都可以把二维连续区分成两个一维连续区：时间与空间。由于时间是“绝对的”，所以在经典物理学中，从运动的“静态”图到“动态”图的过渡就有了一种客观意义。
但是我们已经确信，不能把经典变换普遍用于物理学。从实用的角度来看，对于小速度来说它还可以用，但不能用来解决基本的物理问题。
根据相对论，石头碰到地面的时间不会在所有观察者看来都一样。在两个不同的坐标系中，时间坐标和空间坐标都会不同。倘若相对速度接近光速，时间坐标的变化将会非常明显。我们不能像在经典物理学中那样把二维连续区分解成两个一维连续区。在确定另一个坐标系中的时-空坐标时，我们绝不能把空间和时间分开来考虑。从相对论的观点来看，把二维连续区分解成两个一维连续区似乎是一种没有客观意义的武断做法。
不难把我们刚才讲的一切推广到非直线运动的情况。事实上，描述自然之中的事件需要用四个数而不是两个数。通过物体及其运动来构想的我们的物理空间有三个维度，位置由三个数来刻画。事件的时刻是第四个数。每一个事件都对应于四个确定的数，任何四个数都对应于一个确定的事件。于是，事件世界就成了一个四维连续区。这一点并无神秘之处，这句话对于经典物理学和相对论都是同样正确的。但是当我们考察两个相对作匀速直线运动的坐标系时又会发现差异。假定房间在运动，屋内屋外的观察者要确定同一个事件的时-空坐标。经典物理学家们会把这个四维连续区分解成三维空间和一维时间连续区。旧物理学家只关心空间变换，因为对他来说，时间是绝对的。他认为把四维世界连续区分解成空间和时间是方便而自然的。但是从相对论的观点来看，从一个坐标系过渡到另一个坐标系时，时间和空间都会改变。洛伦兹变换考察的正是我们四维事件世界的四维时-空连续区的变换性质。
事件世界可以用一幅投射到三维空间背景上的随时间变化的动态图来描述，但也可以用一幅投射到四维时－空连续区背景上的静态图来描述。从经典物理学的观点来看，这一动一静的两幅图是等价的。不过从相对论的观点来看，静态图要更方便、更客观。
如果愿意，即使在相对论中我们也仍然可以使用动态图。但我们必须记住，这种对时间和空间的划分并无客观意义，因为时间不再是“绝对”的。接下来我们仍然会用“动态”而非“静态”的语言，请记住它的局限性。
10.广义相对论
还有一点需要澄清。有一个最基本的问题尚未解决：惯性系存在吗？对于自然定律，自然定律对洛伦兹变换的不变性，以及它们在相对作匀速直线运动的所有惯性系中的有效性，我们已经有所了解。我们有了定律，但不知道它们属于哪个参照系。
为了把这个问题看得更清楚，我们采访一位经典物理学家，向他提出几个简单的问题：
“什么是惯性系？”
“是力学定律在其中有效的坐标系。在这样一个坐标系中，不受外力作用的物体总是作匀速直线运动。凭借这个性质，我们可以把惯性坐标系和其他坐标系区分开来。”
“但是说‘没有力作用于物体上’，这话是什么意思呢？”
“这只是说物体在惯性坐标系中作匀速直线运动。”
这里我们可以再问一次：“什么是惯性坐标系？”但由于得到与前面不同的回答希望渺茫，我们不妨把问题改变一下，看看能否得到一些具体的信息。
“与地球刚性连接的坐标系是惯性坐标系吗？”
“不是，因为由于地球的转动，力学定律在地球上并非严格有效。在许多问题上，我们可以把与太阳刚性连接的坐标系看成一个惯性坐标系，但在谈论太阳的转动时，同样不能把一个与太阳刚性连接的坐标系看成惯性坐标系。”
“那么你所说的惯性坐标系究竟是什么呢？它的运动状态如何选择？”
“它只是一个有用的虚构，我不知道如何实现它。倘若我能远离所有物体，并且不受任何外界影响，我的坐标系就是惯性的。”
“但你所说的不受任何外界影响的坐标系是什么意思呢？”
“我的意思是那个坐标系是惯性的。”
于是我们又回到了最初那个问题！
我们的采访揭示了经典物理学中的一个严重困难。我们有定律，但不知道它们属于哪一个参照系，我们的整座物理学大厦似乎都建在沙子上。
我们可以从另一种观点来考察这个困难。想象在整个宇宙中只有一个物体，它成了我们的坐标系。这个物体开始转动。根据经典力学，转动物体的物理定律不同于不转动物体的物理定律。惯性原理若在一种情况下有效，在另一种情况下就无效了。但这听起来很让人怀疑。倘若整个宇宙中只有一个物体，我们可能考察它的运动吗？所谓物体的运动，我们总是指它相对于另一个物体的位置改变。因此，谈论唯一一个物体的运动是违反常识的。在这一点上，经典物理学与常识严重不一致。牛顿的说法是：如果惯性定律有效，那么这个坐标系要么静止，要么作匀速直线运动。如果惯性定律无效，那么物体作的是非匀速运动。因此，我们对运动或静止的判断依赖于是否所有物理定律都适用于某个给定的坐标系。
取两个物体，比如太阳和地球。我们观察到的运动同样是相对的。为了描述它，我们既可以把坐标系与地球相连，也可以与太阳相连。从这个观点来看，哥白尼的伟大成就在于把坐标系从地球转到了太阳。但由于运动是相对的，任何参照系都可以用，所以似乎没有理由更偏爱某个坐标系。
物理学再次干涉和改变了我们的常识观点。与太阳相连的坐标系比与地球相连的坐标系更像惯性系，物理定律应当适用于哥白尼的坐标系而不是托勒密的坐标系。只有从物理学的观点出发才能认识到哥白尼的发现有多么伟大。它表明，使用与太阳刚性连接的坐标系来描述行星的运动有莫大的好处。
在经典物理学中，绝对的匀速直线运动并不存在。如果两个坐标系相对作匀速直线运动，那么说“这个坐标系静止，那个坐标系运动”是没有意义的。但如果两个坐标系相对作非匀速直线运动，那么就完全有理由说：“这个物体运动，那个物体静止（或匀速直线运动）。”绝对运动在这里有着非常明确的意义。在这一点上，常识与经典物理学之间有一条宽阔的鸿沟。刚才提到的惯性系的困难与绝对运动的困难是密切相关的。正是因为有了自然定律在其中有效的惯性系的观念，绝对运动才是可能的。
这些困难似乎是无法避免的，就好像任何物理理论都无法避免它们一样。其根源在于，自然定律只对惯性系这一种特殊的坐标系才有效。这个困难能否解决，取决于如何回答以下问题。我们表达的物理定律能否对所有坐标系都有效，亦即不仅对相对作匀速直线运动的坐标系有效，而且对相对作任何运动的坐标系也有效呢？如果可以做到，我们的困难也就解决了。那样一来，我们就可以把自然定律应用于任何一个坐标系，以前托勒密与哥白尼观点之间的激烈斗争也就变得没有意义了。对每一个坐标系的使用都是平权的。“太阳静止，地球运动”或“太阳运动，地球静止”这两句话仅仅是涉及两个不同坐标系的两种不同约定而已。
我们能否建立一种在所有坐标系中都有效的真正的相对论物理学呢？或者说，能否建立一种只有相对运动而没有绝对运动的物理学呢？这的确是可能的！
关于如何建立这种新物理学，我们至少已经有一条线索，尽管这条线索非常弱。真正的相对论物理学必须适用于一切坐标系，因此也适用于惯性坐标系这个特例。我们已经知道适用于这个惯性坐标系的一些定律。在惯性系的特例中，对一切坐标系有效的新的一般定律必须归于旧的已知定律。
为一切坐标系提出物理定律的问题已经被所谓的广义相对论解决了。前面所讲的理论被称为狭义相对论，只适用于惯性系。当然，这两种理论不能彼此矛盾，因为我们必须总是把旧的狭义相对论定律纳入一个惯性系的一般定律。但是，正因为以前物理定律仅仅是针对惯性坐标系而提出的，所以现在惯性坐标系将成为特殊的极限情形，因为在广义相对论中，一切相对作任意运动的坐标系都是允许的。
这就是广义相对论的纲领。但要概述这个纲领是如何实施的，我们必须说得比以前更模糊些。科学发展过程中产生的新困难迫使我们的理论变得越来越抽象。异乎寻常的意外经历仍然在等待着我们。但我们的最终目标永远是更好地理解实在。联系理论与观察的逻辑链条又增加了新的环节。为把理论到实验的道路上不必要的人为假设清除掉，使理论涵盖越来越广的事实，就必须使这个链条越来越长。我们的假设变得越简单、越基本，数学推理工具越复杂，从理论到观察的道路就越长、越复杂、越难以描述。虽然听起来很悖谬，但我们依然可以说：新物理学比旧物理学更简单，因此也似乎更困难、更复杂。我们关于外在世界的图像越简单，包含的事实越多，就越能在我们的心灵中反映出宇宙的和谐。
我们的新观念很简单：建立一种对于所有坐标系都有效的物理学。这种观念的实现使形式变得更加复杂，我们不得不使用一些物理学尚未用过的数学工具。这里我们只阐述这个纲领的实现与两个主要问题（引力和几何学）的关系。
11.升降机内外
惯性定律标志着物理学中的第一项伟大进展，事实上是物理学的真正开端。它是通过思索一个理想实验而得到的，即一个物体在既无摩擦又无任何外力作用的情况下永远运动下去。从这个例子以及后来许多其他例子中，我们认识到由思想创造的理想实验的重要性。这里同样要讨论理想实验。这些理想实验听起来也许很荒唐，却能像简单方法一样帮助我们理解相对论。
前面讲过作匀速直线运动的房间的理想实验。这里我们要讲一个下落升降机的理想实验。
想象有一个大升降机位于摩天大楼的楼顶，这座摩天大楼比任何实际的摩天大楼都要高得多。突然，升降机的钢缆断了，于是升降机朝着地面自由下落。下落过程中，升降机里的观察者正在做实验。描述这些实验的时候，我们不必考虑空气的阻力或摩擦力，因为在理想条件下可以不考虑它们的存在。一位观察者从口袋里拿出一块手帕和一块表，然后丢开它们。这两个物体会怎样呢？正在从升降机的窗户外面朝里望的观察者会发现，手帕和表都以同样的加速度落向地面。我们还记得，落体的加速度与它的质量无关，正是这个事实揭示了引力质量与惯性质量的相等。我们也记得，从经典力学观点来看，引力质量与惯性质量的相等是完全偶然的，在经典力学的结构中不起任何作用。然而在这里，从所有落体都有相同的加速度这一事实中反映出来的两种质量的相等是至关重要的，它构成了我们全部论证的基础。
让我们回到那块下落的手帕和表。在升降机外面的观察者看来，这两个物体都以同样的加速度下落。但升降机连同它的四壁、天花板和地板也都以同样的加速度下落，因此两个物体与地板之间的距离并不改变。而在升降机里面的观察者看来，这两个物体一直停在松手丢开它们的那个地方。里面的观察者可以不考虑引力场，因为场源在他的坐标系外面。他发现升降机内部没有任何力作用于这两个物体，因此它们是静止的，就像在一个惯性坐标系中似的。奇怪的事情在升降机中发生了！如果这位观察者朝任何方向（比如朝上或朝下）推动一个物体，那么只要没有碰到升降机的天花板或地板，这个物体将一直作匀速直线运动。简而言之，对于升降机里面的观察者来说，经典力学的定律是有效的。所有物体都按照惯性定律来运动。这个与自由下落的升降机刚性连接的新坐标系只在一个方面不同于惯性坐标系。在惯性坐标系中，不受任何力作用的运动物体会永远作匀速直线运动。经典物理学中描述的惯性坐标系在空间和时间上都没有限制。而我们升降机中的观察者的情形就不同了，其坐标系的惯性性质在空间和时间上都有限制。这个匀速直线运动的物体迟早会碰到升降机的壁，从而破坏匀速直线运动。整个升降机也迟早会撞到地面，从而破坏里面的观察者及其实验。这个坐标系仅仅是实际惯性坐标系的“袖珍版”罢了。
坐标系的这种局域性很重要。如果想象升降机一端在北极，一端在赤道，而手帕放在北极，表放在赤道，那么在外面的观察者看来，这两个物体不会有相同的加速度，也不会相对于彼此静止。我们的整个论证就失败了！升降机的体积必须有一定的限制，这样才能认为在升降机外面的观察者看来所有物体的加速度都相等。
有了这种限制，这个坐标系在里面的观察者看来就有了一种惯性。我们至少可以指出一个所有物理定律在其中都有效的坐标系，尽管它在时间和空间上受到了限制。如果设想另一个坐标系，即相对这个自由下落的升降机作匀速直线运动的升降机，那么这两个坐标系都将是局域惯性的。在这两个坐标系中，所有定律都完全相同。从一个坐标系到另一个坐标系的过渡由洛伦兹变换给出。
让我们看看升降机内外的两位观察者用什么方式来描述升降机中发生的事情。
外面的观察者注意到了升降机及其内部所有物体的运动，发现它们符合牛顿的引力定律。在他看来，由于地球引力场的作用，此运动不是匀速的，而是加速的。
然而，在升降机内出生和长大的一代物理学家却有完全不同的推理。他们相信自己拥有一个惯性系，会把所有自然定律都与他们的升降机相参照，并且自信地说，在他们的坐标系中，定律都有一种特别简单的形式。他们会自然认为自己的升降机是静止的，其坐标系是惯性的。
升降机内外观察者的分歧是不可能化解的。他们都有权把所有事件与自己的坐标系相参照，两者对事件的描述都能自圆其说。
由这个例子我们可以看到，即使两个坐标系相对于彼此不作匀速直线运动，对其中的物理现象作出一致的描述也是可能的。但要作这样的描述，必须考虑引力，这是从一个坐标系过渡到另一个坐标系的“桥梁”。外面的观察者认为引力场存在，里面的观察者却认为不存在。外面的观察者认为存在着升降机在引力场中的加速运动，里面的观察者却认为升降机是静止的，引力场不存在。然而，使两个坐标系中的描述成为可能的引力场————这座“桥梁”————有一个非常重要的支柱，那就是引力质量等于惯性质量。倘若没有经典力学未曾注意的这条线索，我们现在的论证就会完全失败。
现在再讲一个略为不同的理想实验。假定有一个惯性坐标系，惯性定律在其中是有效的。我们已经描述过静止于这样一个惯性坐标系的升降机中发生的事情。现在把图像改变一下，假定有人在升降机外面把一根绳索固定在升降机上，并以恒定的力沿着如图所示的方向牵拉。至于如何做到这些是无关重要的。既然力学定律在这个坐标系中有效，整个升降机将以恒定的加速度沿着运动的方向运动。我们再来听听升降机内外的观察者是如何解释升降机中的现象的。
外面的观察者：我的坐标系是一个惯性坐标系。升降机以恒定的加速度运动，这是因为有一个恒定的力在起作用。里面的观察者在作绝对运动，力学定律对他是无效的。他看不出不受力作用的物体是静止的。如果释放一个物体，它很快就会碰在升降机的地板，因为地板在朝着这个物体向上运动。表和手帕也是如此。我觉得很奇怪，升降机里面的观察者必须总在“地板”上，因为他一跳起来，地板就会重新碰到他。
里面的观察者：我看不出有什么理由可以认为我的升降机在作绝对运动。我同意，与我的升降机刚性连接的坐标系其实不是惯性系，但我并不认为它与绝对运动有什么关系。我的表、手帕以及所有物体之所以下落，是因为整个升降机都在引力场中。我和地面上的人观察到的是完全相同的运动。地面上的人对物体下落的解释很简单，那就是引力场的作用。我也是如此。
升降机内外的观察者所作的这两种描述都很能自圆其说，我们无法判定谁是正确的。我们可以采用其中任何一种来描述升降机中的现象：要么按照外面的观察者所主张的，物体作非匀速运动，没有引力场；要么按照里面的观察者所主张的，物体静止，存在引力场。
外面的观察者也许认为升降机在作“绝对的”非匀速直线运动，但一种能被引力场假设取消掉的运动不能被视为绝对运动。
我们也许能找到一种办法从这两种如此不同的描述中走出来，决定支持哪一种，反对哪一种。设想有一束光经由侧面窗户水平地射入升降机，极短时间之后射到对面的墙上。我们再看看这两位观察者如何预言光的路径。
外面的观察者认为升降机在作加速运动，他会说：光线射入窗户之后将沿直线以恒定的速度水平地射向对面的墙。但升降机正在上升，在光朝着墙壁运动的时间里，升降机已经改变了位置。因此，光线射到墙壁上的点不会与入射点截然相对，而会稍微低一点。这个差异将会很小，但总是存在的，于是相对于升降机，光线不是沿直线，而是沿着略为弯曲的曲线行进。这是因为在光线穿过升降机内部期间，升降机已经移动了一段距离。
里面的观察者则认为升降机中的一切物体都受到引力场的作用，他会说：不存在升降机的加速运动，只存在引力场的作用。光束没有重量，因此不会受到引力场的影响。如果沿水平方向发射，它将射到与入射点截然相对的那个点上。
从这种讨论来看，似乎可以在这两种相反观点中作出判定，因为两位观察者看到的现象是不同的。如果刚才引述的两种解释并非不合理，那么我们之前的整个论证都会被推翻。我们不能用有引力场和无引力场这两种一致的方式来描述所有现象。
但幸运的是，里面的观察者的推理中有一个严重的错误，它挽救了我们前面的结论。他说“光束没有重量，因此不会受到引力场的影响”，这是不正确的！光束携带着能量，而能量有质量。但任何惯性质量都被引力场所吸引，因为惯性质量和引力质量是等效的。光束在引力场中会弯曲，就像以光速水平抛出的物体会偏折路线一样。倘若里面的观察者推理正确，考虑了光线在引力场中的弯曲，他的结果就会与外面观察者的结果完全一致。
当然，地球的引力场太弱了，以至于无法用实验来直接证明光线在地球引力场中的弯曲。但在日食期间所做的著名实验却决定性地间接证明了引力场对光线路径的影响。
从这些例子中可以看出，提出一种相对论物理学是很有希望和有充分根据的。但为此我们必须先来处理引力问题。
我们从升降机的例子中可以看出这两种描述的一致性。既可以假定非匀速运动，也可以不假定。我们可以通过引力场把“绝对”运动从这些例子中消除。但那样一来，非匀速运动中就没有任何绝对的东西了。引力场能将其彻底消除。
我们可以把绝对运动和惯性坐标系的幽灵从物理学中赶出去，建立一种新的相对论物理学。我们的理想实验表明广义相对论的问题与引力问题是密切相关的，并且显示了引力质量与惯性质量的等效为什么对这种关联至关重要。显然，广义相对论中引力问题的解必定不同于牛顿引力问题的解。和所有自然定律一样，引力定律必须在所有可能的坐标系中都有效，而牛顿提出的经典力学定律只在惯性坐标系中才有效。
12.几何学与实验
我们的下一个例子甚至比下落的升降机的例子还要奇特。我们必须讨论一个新问题，即广义相对论与几何学之间的关联。我们先来描述一个生活着二维生物而非三维生物的世界。电影已经使我们习惯于在二维银幕上表演的二维生物。现在让我们设想银幕上的这些“影人”是实际存在的，他们有思维能力，能够创建自己的科学，二维银幕就是他们的几何空间。这些生物无法具体想象三维空间，就像我们无法想象四维世界一样。他们可以折弯直线，知道圆是什么，但却造不出球体，因为这意味着舍弃了他们的二维银幕。我们的处境也是类似的。我们能把线和面折弯，却很难想象一个折弯的三维空间。
通过生活、思考和实验，这些“影人”最终可以精通二维的欧几里得几何学知识。例如，他们可以证明三角形的内角之和等于180度，可以作两个同心圆。他们会发现，这样两个圆的周长之比等于它们的半径之比，这个结果正是欧几里得几何学的典型特征。倘若银幕无限大，这些“影人”会发现，一旦开始笔直前行，他们就永远回不到起点。
现在我们设想这些二维生物的生活环境改变了。有人从外面即“第三维”把他们从银幕移到了半径很大的球面上。如果这些“影人”与整个球面相比极小，无法作远距离通信，又不能移动很远，则他们将感觉不到有任何变化。小三角形的内角之和仍然等于180度。两个同心圆的半径之比仍然等于周长之比。他们沿着直线旅行仍然回不到起点。
但假定这些“影人”渐渐发展出他们的理论知识和技术知识。他们发明了交通工具，能够快速通过遥远的距离。他们将会发现，笔直前行最终还是会回到起点。“笔直前行”意指沿着球体的大圆移动。他们也会发现，两个同心圆的周长之比不等于半径之比。
如果我们的二维生物很保守，而且过去几代学的都是欧几里得几何学（那时他们还不能远行，这种几何学与观测事实相符），那么即使其测量结果有一定误差，他们也肯定会尽一切努力去维护这种几何学。他们可能会尽量用物理学来解释这些不一致，比如寻找一些像温差这样的物理学理由来解释线的变形，从而导致与欧几里得几何学的偏离。但他们迟早会发现，可以用一种更合乎逻辑和更令人信服的方法来描述这些事件。他们终将懂得自己的世界是有限的，其几何学原理与他们学到的有很大区别。他们会知道自己的世界是一个球体的二维表面，尽管无法去想象这一点。他们很快就会学习新的几何学原理，这些原理虽然不同于欧几里得的，但可以针对其二维世界以同样一致和逻辑的方式表述出来。对于学过球面几何学知识的下一代二维生物而言，旧的欧几里得几何学会显得更为复杂和人为，因为它并不符合观察到的事实。
让我们回到我们世界中的三维生物。
说我们的三维空间有一种欧几里得特征，这是什么意思呢？它的意思是，所有得到逻辑证明的欧几里得几何学命题也能用实际的实验加以确证。借助于刚性物体或光线，我们可以构造出与欧几里得几何学的理想化对象相对应的物体。尺子的边缘或一束光都对应于一条线；用刚性细杆构成的三角形的内角之和等于180度；用坚韧的金属丝围成的同心圆的半径之比等于其周长之比。以这种方式来解释，欧几里得几何学就成了物理学的一章，尽管是非常简单的一章。
但我们可以设想差异已经被发现了：例如，由刚性量杆构成的大三角形的内角之和不再等于180度。由于我们已经习惯于用刚性物体来具体表示欧几里得几何学的对象，我们也许应当寻找某种物理的力来解释我们量杆的这种出乎预料的形变。我们应当力求发现这种力的物理性质及其对其他现象的影响。为了挽救欧几里得几何学，我们可以指责物体并非刚性，与欧几里得几何学中的形体并不完全符合。我们应当努力找到更好的物体，其表现与欧几里得几何学所期望的完全一致。然而，倘若我们未能把欧几里得几何学与物理学结合成一幅简单一致的图景，我们就不得不放弃我们的空间是欧几里得空间这一观念，并按照关于我们空间几何性质的更一般假设寻求一种更令人信服的实在图景。
我们可以用一个理想实验来说明这种必要性。这个实验表明，真正的相对论物理学不可能建立在欧几里得几何学的基础上。我们的论点将会蕴含着我们已经了解的关于惯性坐标系和狭义相对论的结果。
设想有一个大圆盘，上面画着两个同心圆，一个很小，另一个很大。圆盘飞快地旋转。圆盘是相对于外面的观察者转动的，圆盘上还有一个观察者。我们进一步假定，外面观察者的坐标系是惯性坐标系，他也可以在自己的惯性坐标系中画出同样一大一小的两个圆，这两个圆在他的坐标系中是静止的，但与旋转圆盘上的圆重合。他的坐标系是惯性的，因此欧几里得几何学在他的坐标系中是有效的，他将发现两圆的周长之比等于半径之比。但圆盘上的观察者发现了什么呢？从经典物理学和狭义相对论的观点来看，他的坐标系是禁用的。但要想为物理定律找到在任何坐标系中都有效的新形式，就必须同样严肃地对待圆盘上和圆盘外的观察者。现在我们从外面注视圆盘上的观察者，看他如何通过测量来查明旋转圆盘上的周长和半径。他和外面的观察者使用的是同样的小量杆。所谓“同样”，要么是指实实在在地相同，就是说它是由外面的观察者递给圆盘上的观察者的；要么是指在一个坐标系中静止时具有相同长度的两根量杆中的一根。
圆盘上的观察者开始在圆盘上测量小圆的半径和周长，他的测量结果必定与外面的观察者完全相同。圆盘的旋转轴通过圆盘的中心，圆盘中心附近的部分速度很小。如果圆足够小，我们就可以放心地使用经典物理学而不必考虑狭义相对论。这意味着，对于圆盘上和外面的观察者来说，量杆的长度是一样的，因此两人的测量结果也将相同。现在圆盘上的观察者又来测量大圆的半径。在外面的观察者看来，放在半径上的量杆在运动。但由于运动方向与量杆垂直，所以这根量杆并不收缩，在两位观察者看来长度相同。于是，对这两位观察者来说，三种测量结果都相同：两个半径和一个小圆周长。而第四种测量却不然！两位观察者测得的大圆周长并不相同。在外面的观察者看来，沿着运动方向放在圆周上的量杆与静止时相比显得收缩了。外圆的速度比内圆大得多，所以必须考虑这种收缩。因此，运用狭义相对论的结果，我们的结论是：两位观察者测出的大圆周长一定是不同的。由于两位观察者测量的四种长度中只有一种是不同的，所以圆盘上的观察者不会像外面的观察者那样认为两半径之比等于两周长之比。这意味着，圆盘上的观察者无法在他的坐标系中确证欧几里得几何学的有效性。
得到这个结果之后，圆盘上的观察者可以说，他不想考虑欧几里得几何学在其中无效的坐标系。欧几里得几何学之所以不成立是因为绝对转动，是因为他的坐标系是坏的和被禁用的。但在以这种方式论证时，他已经拒斥了广义相对论中的主要观念。另一方面，如果我们想拒斥绝对运动，保留广义相对论的观念，就必须把物理学建立在一种比欧几里得几何学更一般的几何学的基础上。只要所有坐标系都可以允许，就无法摆脱这个结局。
广义相对论所带来的变化不能仅限于空间。在狭义相对论中，静止在一个坐标系中的各个钟是同步的，亦即同时指示相同的时刻。那么，非惯性坐标系中的钟会怎样呢？我们还用那个关于圆盘的理想实验。外面的观察者在其惯性坐标系中有许多同步的完美的钟。圆盘上的观察者从中拿出两个，一个放在小的内圆上，另一个放在大的外圆上。内圆上的钟相对于外面的观察者速度很小。于是我们可以放心地断定，它的快慢与圆盘外面的钟相同。但大圆上的钟速度很大，与外面观察者的钟相比快慢变了，因此与放在小圆上的钟相比快慢也变了。于是，两个旋转的钟将会有不同的快慢。运用狭义相对论的结果，我们再次发现在我们的旋转坐标系中做不出类似于惯性坐标系中那样的安排。
为了说明从这个以及前面描述的理想实验中可以得出怎样的结论，我们再次引述相信经典物理学的旧物理学家（“古”）和懂得广义相对论的现代物理学家（“今”）之间的一段对话。旧物理学家是处于惯性坐标系中的外面的观察者，而现代物理学家则是处于旋转圆盘上的观察者。
古：在你的坐标系中，欧几里得几何学是无效的。我观察了你的测量，我承认在你的坐标系中，两个圆的周长之比并不等于半径之比。但这表明你的坐标系是被禁用的。可我的坐标系是惯性的，我可以放心地使用欧几里得几何学。你的圆盘在作绝对运动，从经典物理学的观点来看，它是一个被禁用的坐标系，在其中力学定律是无效的。
今：我不想听任何关于绝对运动的说法。我的坐标系和你的一样好。我看到你相对我的圆盘在旋转。没有人能禁止我把所有运动都与我的圆盘相关联。
古：但你不觉得有一种奇怪的力使你远离圆盘中央吗？假如你的圆盘不是一个快速转动的旋转木马，你所观察到的两种情况就不可能发生。你不会感到有一种力把你向外推，也不会注意到欧几里得几何学在你的坐标系中不能用。这些事实难道不足以让你相信你的坐标系在作绝对运动吗？
今：绝非如此！我当然注意到了你所提到的两个事实，但我认为它们之所以发生，是因为有一个奇特的引力场作用于我的圆盘。指向圆盘外面的这个引力场使我的刚性量杆发生形变，使我的钟改变快慢。在我看来，引力场、非欧几何和不同快慢的钟是密切相关的。采用任何坐标系，我必须同时假定存在着一个适当的引力场及其对刚性量杆和钟的影响。
古：但是，你知道你的广义相对论所引起的困难吗？我想用一个简单的非物理学的例子来澄清我的观点。想象一座理想的美国城市，它由一条条南北街和与之垂直的东西路所组成。街与街的距离、路与路的距离是相同的。如果这些假设得到满足，那么每一个街区都是同样大小。用这种方法很容易描述任一街区的位置。但如果没有欧几里得几何学，这样一种构图是不可能的。例如，我们不能用一个很大的理想美国城市把整个地球覆盖起来。这一点只要看看地球就知道了。但我们也不能用这样一幅“美国城市图”把你的圆盘覆盖起来。你说引力场已经使你的量杆发生了形变。你无法确证关于半径之比等于周长之比的欧几里得定理，这就清楚地表明，如果你把这样一种街道图带到足够远的地方，便迟早会陷入困难，而发现这在你的圆盘上是不可能的。你旋转圆盘上的几何学类似于曲面上的几何学，而在足够大的曲面上，这样的街道图当然是不可能的。再举一个更物理的例子。假定把一个平面的各个部分不规则地加热到不同温度。你能用长度随温度而膨胀的小铁杆作出下面这幅“平行－垂直”图吗？当然不能！你的“引力场”对你的量杆所起的作用和温度改变对小铁杆所起的作用是一样的。
今：所有这些都吓不倒我。需要用街道图来确定点的位置，用钟来确定事件的次序。但城市未必是美国的，它也可以是古代欧洲的。想象你的理想城市是由塑料做成的，然后发生了形变。虽然街道已经不再笔直和等距，但我仍然可以数出街区，认出街道。同样，我们在地球上用经纬度来标明点的位置，尽管不是“美国城市”的构图。
古：但我还是看到一个困难。你不得不用你的“欧洲城市图”。我承认你能确定点或事件的次序，但这种图会把一切距离测量弄乱。它无法像我的图那样给出空间的度规性质。举例来说，我知道在我的美国城市中，要想走十个街区，我必须经过五个街区距离的两倍。我知道所有街区都相等，所以我能立即确定距离。
今：你说的不错。在我的“欧洲城市”图中，我无法通过变形街区的数目立即确定距离。我必须知道更多的东西，必须知道我的表面的几何性质。众所周知，同样是从经度0度到10度的距离，在赤道上和在北极附近是不等的。但每一位航海家都知道如何在地球上确定这样两点之间的距离，因为他知道地球的几何性质。他要么根据球面三角学知识来计算，要么把他的船以相同的速度驶过这两段距离，用实验方法来计算。在你的例子中，整个问题很简单，因为所有街和路都是等距的。而在我们的地球上，情况要更为复杂，0度与10度的两条经线在地球两极相遇，在赤道上则相距最远。同样，为了在我的“欧洲城市图”中确定距离，我必须比你在“美国城市图”中多知道一些东西。为了得到这种额外的知识，我可以在每一种特殊情况下研究我的连续区的几何性质。
古：但所有这些都只不过表明，放弃欧几里得几何学的简单结构，启用你决心使用的复杂框架是如何的不便和复杂罢了。难道这真是必需的吗？
今：如果想把物理学应用到任何坐标系，而不是神秘的惯性坐标系，我想这是不可避免的。我承认我的数学工具比你的更复杂，但我的物理假设却更加简单自然。
这个讨论只限于二维连续区。广义相对论中的争论要更为复杂，因为那里不是二维连续区而是四维时－空连续区，但想法与二维情形一样。在广义相对论中，我们不能像在狭义相对论中那样使用由平行和垂直的量杆以及同步的钟所组成的力学框架。在一个任意的坐标系中，我们无法用刚性量杆和同步的钟来确定一个事件发生的地点和时刻，就像在狭义相对论的惯性坐标系中那样。我们仍然可以用非欧几里得的量杆和快慢不同的钟来确定事件。但需要用刚性量杆和完全同步的钟来做的实际测量只能在局域的惯性坐标系中进行。在这种坐标系中，整个狭义相对论都是有效的。但我们的“好”坐标系只是局域的，其惯性受空间和时间的限制。甚至在我们的任意坐标系中，我们也能预见到局域惯性坐标系中的测量结果。但为此我们必须知道我们时－空连续区的几何学特征。
我们的理想实验仅仅指出了新的相对论物理学的一般特征。这些实验表明，我们的基本问题是引力问题。它们还表明，广义相对论进一步推广了时间和空间概念。
13.广义相对论及其验证
广义相对论试图为所有坐标系提出物理定律。该理论的基本问题是引力问题。自牛顿时代以来，它第一次尝试重新表述引力定律。这真是必需的吗？我们已经了解过牛顿理论的伟大成就以及建立在牛顿引力定律基础上的伟大天文学进展。直至今日，牛顿定律仍然是所有天文学计算的基础。但我们也听说过对于旧理论的一些反驳。牛顿定律只在经典物理学的惯性坐标系中有效，我们还记得，所谓惯性坐标系是指力学定律在其中有效的坐标系。两个质量之间的力与两者之间的距离有关。我们知道，力与距离的关系对于经典变换是不变的。但这个定律并不符合狭义相对论的框架。该距离对于洛伦兹变换并非不变。就像对运动定律一样，我们可以设法把引力定律加以推广，使之符合狭义相对论，或者换句话说，使引力定律的表述对于洛伦兹变换不变，而不是对于经典变换不变。但无论我们如何努力，也无法把牛顿的引力定律简化，把它纳入狭义相对论的框架。即使在这方面取得成功，我们也仍然需要更进一步，从狭义相对论的惯性坐标系迈向广义相对论的任意坐标系。另一方面，关于下落升降机的理想实验清楚地表明，除非解决了引力问题，否则不可能提出广义相对论。由此我们可以看到，为什么引力问题的解决在经典物理学和广义相对论中是不同的。
我们曾试图说明通往广义相对论的道路以及迫使我们再次改变旧观点的理由。我们不去深入广义相对论的形式结构，而只是刻画新的引力理论与旧理论相比有什么特征。根据以上所述，掌握这些差别的实质应当并不困难。
（1）广义相对论的引力方程可以应用于任何坐标系。在某一情形中选择某个特定的坐标系仅仅是出于方便。从理论上讲，所有坐标系都是允许的。如果不考虑引力，我们会自动回到狭义相对论的惯性坐标系。
（2）牛顿的引力定律把此时此地的一个物体的运动与同一时刻远处某一物体的作用联系在一起。此定律已经成为我们整个力学观的一个典范。但力学观崩溃了。在麦克斯韦方程中，我们看到了自然定律的一个新的典范。麦克斯韦方程是结构定律。它们把此时此地发生的事件与稍后附近发生的事件联系起来，是描述电磁场变化的定律。我们新的引力方程也是描述引力场变化的结构定律。扼要地讲，我们可以说：从牛顿的引力定律过渡到广义相对论，有些类似于从库仑定律的电流体理论过渡到麦克斯韦理论。
（3）我们的世界并不是欧几里得式的。我们世界的几何本性由质量及其速度来决定。广义相对论的引力方程试图揭示我们世界的几何本性。
暂且假定我们已经成功实现了广义相对论的纲领。但我们的猜想是否有过分脱离实在的危险呢？我们知道，旧理论很好地解释了天文学观测。是否有可能在新理论与观测之间建起一座桥梁呢？任何猜想都必须接受实验的检验，任何结果，无论多么吸引人，倘若不符合事实，都必须拒斥。新的引力理论能否经受实验检验呢？对于这个问题，我们可以用一句话来回答：旧理论是新理论的一种特殊的极限情形。如果引力较弱，旧牛顿定律就会是新引力定律的很好近似。因此，所有支持经典理论的观测也支持广义相对论。我们从新理论的更高层次上重新获得了旧理论。
即使我们无法引用额外的观测来支持新理论，即使它的解释与旧理论不相上下，倘若在两种理论中自由选择，我们也应当支持新的。从形式上看，新理论的方程要更为复杂，但从基本原理上看，它却简单得多。绝对时间与惯性系这两个可怕的幽灵已经消失了。引力质量与惯性质量的等效这一线索也没有被忽视。关于引力及其与距离的关系，我们无须作任何假设。引力方程有着结构定律的形式，这是自场论取得伟大成就以来所有物理定律都必须具有的形式。
由新的引力定律可以引出不包含在牛顿引力定律中的一些新推论。我们曾经引述过一个推论，即光线在引力场中的弯曲。现在我们要提到另外两个推论。
如果引力较弱时旧定律可以从新定律中推出来，那么只有在引力较强时才能发现与牛顿引力定律的偏差。以我们的太阳系为例，包括地球在内的所有行星都沿着椭圆轨道围绕太阳运转。水星是距离太阳最近的行星。太阳与水星之间的引力要强于太阳与任何其他行星之间的引力，因为水星与太阳的距离较小。倘若有任何希望能够发现与牛顿定律的偏差，最大的机会就是水星。由经典理论可知，水星的运行轨道与任何其他行星是相同类型，只不过它离太阳更近。根据广义相对论，它的运动应该略有不同。水星不仅要围绕太阳运转，它的椭圆轨道也应相对于与太阳相连的坐标系缓慢转动。椭圆轨道的这种转动体现了广义相对论的新效应。新理论还预言了这个效应的大小，水星的椭圆轨道将在300万年后完成整个转动。由此可见，这种效应非常之小，距离太阳更远的行星更没有希望发现这个效应。
在提出广义相对论之前，人们已经知道水星轨道与椭圆的偏差，但无法作出解释。另一方面，广义相对论是在完全没有注意到这个特殊问题的情况下而发展起来的。只是后来才从新的引力方程中推出了行星围绕太阳运转的椭圆轨道本身也在转动的结论。就水星而言，理论成功地解释了水星的运动与牛顿定律预言的运动之间的偏离。
但从广义相对论中还可以推出一个结论可与实验进行比较。我们已经看到，放在旋转圆盘大圆上的钟与放在小圆上的钟快慢不同。同样，由相对论可以推出，放在太阳上的钟与放在地球上的钟快慢不同，因为引力场在太阳上比在地球上要强得多。
前面说过，炽热的钠会发出一定波长的单色黄光。在这种辐射中，原子显示了它的一种快慢；可以说，原子代表钟，发射的波长则代表钟的快慢。根据广义相对论，太阳上钠原子发出光的波长应当略长于地球上钠原子发出光的波长。
通过观测来检验广义相对论的推论是一个非常复杂的问题，而且绝没有得到明确无疑的解决。由于我们只关注主要观念，所以不打算作深入讨论，但可以说，迄今为止的实验判决似乎确证了广义相对论的结论。
14.场与物质
我们已经看到了力学观崩溃的过程和原因。不可能通过假定不变的粒子之间有简单的作用力来解释一切现象。事实证明，我们超越力学观、引入场的概念的最初尝试在电磁现象领域最为成功。电磁场的结构定律得以确立，它们把空间和时间中彼此非常接近的事件联系起来。这些定律符合狭义相对论的框架，因为它们对于洛伦兹变换是不变的。后来，广义相对论提出了引力定律，它们同样是描述物质粒子之间引力场的结构定律。就像广义相对论的引力定律那样，我们同样很容易对麦克斯韦的定律进行推广，使之适用于任何坐标系。
我们有两种实在：物质和场。毫无疑问，我们现在不能像19世纪初的物理学家那样想象把整个物理学都建立在物质概念的基础上。我们现在把物质和场这两个概念都接受下来。我们能把物质和场看成两种不同的实在吗？给定一个物质粒子，我们对它可以作这样一种朴素的刻画：该粒子有一个明确的表面，在那里物质不再存在，其引力场也在那里出现。在我们的图景中，场定律有效的区域和物质存在的区域是突然分开的。但区分物质与场的物理标准是什么呢？在了解相对论之前，我们可能会这样来尝试回答这个问题：物质有质量而场没有质量。场代表能量，物质代表质量。但获得更多知识以后，我们已经知道这样的回答是不够的。从相对论中我们得知，物质储藏着大量能量，而能量又代表物质。我们不能以这种方式对物质与场进行定性的区分，因为质量与能量之间的区分并不是定性的。物质之中集中着最大部分的能量，但微粒周围的场也代表能量，尽管量要小得多。因此我们可以说：物质是能量最为集中的地方，场则是能量较少集中的地方。但如果是这样，那么物质与场之间的区别就是定量的而不是定性的。把物质和场看成两种性质完全不同的东西是没有道理的。我们无法想象有一个明确的表面把场与物质截然分开。
电荷和它的场也有同样的困难。我们似乎给不出明显的定性标准来区分物质和场或者电荷和场。
在能量非常集中的地方，或者说在电荷或物质等场源存在的地方，我们的结构定律，即麦克斯韦定律和引力定律就失效了。但我们难道不能对这些方程略作修改，使之到处有效，甚至在能量非常集中的地方也能有效吗？
我们不能仅仅基于物质概念来建立物理学。但在认识到质量与能量等效之后，物质与场的划分就显得有些人为和模糊了。我们能否拒斥物质概念，建立起一种纯粹的场物理学呢？我们感觉到的物质其实只是能量大大集中在一个较小的空间中而已。我们可以把物质看成空间中场特别强的一些区域，由此来创建一种新的哲学背景。其最终目标就是用随时随地都有效的结构定律来解释自然之中的一切事件。从这种观点来看，抛出的石头就是一个变化着的场，在这个场中，场强最大的状态以石头的速度穿过空间。在我们这种新物理学中，场与物质不能都是实在，场是唯一的实在。场物理学取得了伟大的成就，把电、磁和引力的定律成功地表达为结构定律的形式，还有质量与能量的等效，所有这些都暗示了这种新的观点。我们最后的问题便是改变我们的场定律，使之在能量非常集中的地方也不失效。
但迄今为止，我们仍然没有令人信服和前后一致地成功实现这个纲领。究竟能否实现，现在还不好说。目前我们在所有实际的理论构建中仍然要假定两种实在：场与物质。
基本问题仍然摆在我们眼前。我们知道，所有物质都是由少数几种粒子构成的。各式各样的物质是如何由这些基本粒子构成的呢？这些基本粒子与场是如何相互作用的呢？为了寻求这些问题的答案，物理学中又引入了新的观念，即量子理论的观念。
总结：
物理学中出现了一个新的概念————场，这是自牛顿时代以来最重要的发明。对于描述物理现象必不可少的不是电荷，也不是粒子，而是电荷之间与粒子之间的场，这需要很大的科学想象力才能认识到。事实证明，场的概念非常成功，由这个概念引出了描述电磁场结构以及支配电现象和光现象的麦克斯韦方程。
相对论源于场的问题。旧理论的矛盾和不一致迫使我们把新的性质归于时-空连续区，归于我们物理世界中所有事件的舞台。
相对论的发展有两步。第一步产生了所谓的狭义相对论，它只适用于惯性坐标系，即牛顿表述的惯性定律在其中有效的系统。狭义相对论基于两条基本假设：在所有相对作匀速直线运动的坐标系中物理定律都相同；光速总有相同的值。由这些已被实验充分确证的假设可以推出，运动量杆的长度以及钟的快慢随速度而改变。相对论改变了力学定律。如果运动粒子的速度接近光速，旧的定律就失效了。实验出色地确证了相对论为运动物体重新提出的定律。（狭义）相对论的另一个推论便是质能关系。质量是能量，能量有质量。相对论把质量守恒定律与能量守恒定律结合成一个质-能守恒定律。
广义相对论对时-空连续区作了更深入的分析，其有效性不再局限于惯性坐标系。它处理了引力问题，为引力场提出了新的结构定律。广义相对论迫使我们分析几何学对于描述物理世界的作用。它把引力质量与惯性质量的相等看得至关重要，而不像经典力学那样把它看成纯粹偶然。广义相对论的实验结果与经典力学的结果只有略微不同。只要是有可能进行比较的地方，它都经受住了实验的检验。然而，广义相对论的长处在于它内在的一致性和基本假设的简单性。
相对论强调了场的概念在物理学中的重要性，但我们尚不能成功地提出一种纯粹的场物理学。目前我们仍然要假定场和物质都存在。
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